前言

仅用于记录自己学习过程

一、概率论的公理化定义

1.公理化定义

设S是随机试验E的样本空间.按照某种方法，对随机试验E的每一个事件A赋予一个实数P(A)，且满足以下三条公理：

(1)非负性对任意事件A，有P(A)⩾0;(2)规范性对必然事件S，有P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的可列多个事件A1,A2,…Ak…，有P(A1∪A2∪…∪Ak∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+…(1) 非负性\qquad对任意事件A，有P(A) \geqslant0 \quad;\\ (2)规范性 \qquad对必然事件S，有P(S)=1\quad;\\ (3)可列可加性\qquad对于两两互不相容的可列多个事件A_1,A_2,…A_k…，\\ \qquad有P(A_1\cup A_2\cup …\cup A_k \cup…)=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_k)+…(1)非负性对任意事件A，有P(A)⩾0;(2)规范性对必然事件S，有P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的可列多个事件A1,A2,…Ak…，有P(A1∪A2∪…∪Ak∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+…
则称实数P(A)为事件A的概率

个人感觉，虽然3条公理仅仅对概率是什么做了一个说明，对于具体的概率计算，其并没有给出相应的证明。

2.性质

由公理化定义可导出几条非常基本而又重要的性质。

如下：
性质一:对不可能事件∅,有P(∅)=0.性质二:设A1,A2,…An是两两互不相容的n个事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质三:对任意事件A，有P(A)=1−P(A‾).性质四:设A,B是两个事件，且B⊂A,则有P(A−B)=P(A)−P(B);P(B)⩽P(A).性质五:对任意事件A，有P(A)⩽1.性质六:对任意两个事件A,B有,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB).性质一:\qquad对不可能事件\varnothing,有P(\varnothing)=0.\\ 性质二:\qquad设A_1,A_2,…A_n是两两互不相容的n个事件，则有\\ \qquad\qquad\quad\quad P(A_1\cup A_2\cup …\cup A_n )=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n).\\ 性质三:\qquad 对任意事件A，有P(A)=1-P(\overline{A}).\\ 性质四:\qquad设A,B是两个事件，且B\subset A,则有P(A-B)=P(A)-P(B);P(B) \leqslant P(A).\\ 性质五:\qquad对任意事件A，有P(A) \leqslant 1 .\\ 性质六:\qquad 对任意两个事件A,B有,\\ \qquad\qquad\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).性质一:对不可能事件∅,有P(∅)=0.性质二:设A1,A2,…An是两两互不相容的n个事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质三:对任意事件A，有P(A)=1−P(A).性质四:设A,B是两个事件，且B⊂A,则有P(A−B)=P(A)−P(B);P(B)⩽P(A).性质五:对任意事件A，有P(A)⩽1.性质六:对任意两个事件A,B有,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB).

几点理解:
　　1:关于性质一,其逆命题若P(A)=0,则A=∅\color{red}\xcancel{若P(A)=0,则A= \varnothing}若P(A)=0,则A=∅并不成立.
　　2:关于性质二,其形式与定义很类似.但定义时说的是无限个事件,而性质二强调的是有限个.同时,与性质六作对比可发现,性质二成立的条件是各事件互不相容.
　　3:由性质四条件可看出,B⊂AB\subset AB⊂A还是一个比较重要的条件,结论不能随意的使用.但根据恒等式A−B=A−ABA-B=A-ABA−B=A−AB,则可以得出一般结论:P(A−B)=P(A)−P(AB)\color{#00bfff}P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A−B)=P(A)−P(AB)

二、古典概型

1.啥叫古典概型?

古典概型(等可能概率模型):

①:基本事件数有限;
②:每个基本事件发生的可能性都相同

可推导出古典概型中随机事件的概率公式:
P(A)=kn=A包含的基本事件数基本事件总数P(A)=\frac k n=\frac {A包含的基本事件数} {基本事件总数} P(A)=nk=基本事件总数A包含的基本事件数

计算古典概型中事件A的概率时,会经常用到排列组合的知识,这边列举一下常用公式:

加法原理: ∑i=1nmi\displaystyle\sum_{i=1}^n m_ii=1∑nmi

乘法原理:∏i=1nmi\displaystyle\prod_{i=1}^n m_ii=1∏nmi

排列:从n各不同的元素中取出m个(不放回)元素,按一定次序排成一排,排法共有:
Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)
全排列:Ann=n!A_n^n=n!Ann=n!
可重复排列:从n个不同的元素中可重复地取出m个排成一排,不同的排法有
nmn^mnm
组合:从n个不同的元素中取出m个(不放回)组成一组,不同分法有
∁nm=n!m!(n−m)!\complement^m_n=\frac {n!} {m!(n-m)!} ∁nm=m!(n−m)!n!

2.超几何分布

一个袋中装有n个球,其中n1n_1n1个球上有数字"1"(不含其他数字,以下类似),n2n_2n2个球上有数字"2",…,nkn_knk个球上有数字"k".现从中任取m个球,求所取的球中恰好有mim_imi个球上有数字"i"(i=1,2,…,k)的概率P.其中n=n1+n2+...+nk,m=m1+m2+...+mkn=n_1+n_2+...+n_k,m=m_1+m_2+...+m_kn=n1+n2+...+nk,m=m1+m2+...+mk
可得
P=∁n1m1∁n2m2⋅...⋅∁nkmk∁nmP=\frac {\complement^{m_1}_{n_1}\complement^{m_2}_{n_2}\cdot...\cdot\complement^{m_k}_{n_k}} {\complement^{m}_{n}} P=∁nm∁n1m1∁n2m2⋅...⋅∁nkmk

总结

把今天上的课稍微总结了一下,之后更新作业答案

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