递归与迭代，台阶问题，斐波那契，分治算法

问题：有n步台阶，一次只能上1步或2步，共有多少种走法？

解法：

（1）递归

（2）循环迭代

递归

注：对于每一种我们只关心他最后一步的两种可能，一种是还差一步，一种是还差两步，这两种可能相加就可以（关心他最后是一步跨两个台阶还是一步跨一个台阶。

解释：假设当n=3时，他跨完所有台阶有两种情况，一种是最后一次是踏一步踏完台阶，另一种是最后一次踏两步踏完台阶，图中n=3时的两种情况就是如此。

图中演示的并不是：

第一种情况：踏一步-踏一步-踏一步-踏完

第二种情况：踏一步-踏两步-踏完

第三种情况：踏两步-踏一步-踏完

n=1时有多少种走法，n=2时有多少种走法，这两种加起来就是n=3时有多少种走法。f(2)里包含了f(1)，f(n)最后一次的走法往前推，最后一次的走法要么是n-1步，要么是n-2步。即要么走一步要么走2步，由此引入f(n-1)和f(n-2)，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，由大往小调，大的不断调用小的，一步一步往前推。

）

代码如下：

package org.example.step;import org.junit.Test;public class TestStep{@Testpublic void test(){long start = System.currentTimeMillis();System.out.println(f(100));//165580141long end = System.currentTimeMillis();System.out.println(end-start);//586ms}//  实现f(n)：求n步台阶，一共有几种走法//  f(n)=f(n-1)+(n-2)public int f(int n){if(n<1){throw new IllegalArgumentException(n + "不能小于1");}if(n==1 || n==2){return n;}return f(n-2) + f(n-1);}
}

循环迭代:

注：one和two作为变量把状态保存了，两种方法看似相同，很大不同。递归是倒推，大的不断往前得到小的。循环迭代是顺推，小的累积得到大的。

代码如下：

package org.example.step;import org.junit.Test;public class TestStep2 {@Testpublic void test(){long start = System.currentTimeMillis();System.out.println(loop(100));//165580141long end = System.currentTimeMillis();System.out.println(end-start);//<1ms}public int loop(int n){if(n<1){throw new IllegalArgumentException(n + "不能小于1");}if(n==1 || n==2){return n;}/** 对于下面两行结合图来看，图中显示  two = f(1); one = f(2)* f(1)指跨1步，f(2)指跨2步* */int one = 2;// 初始化为到达共3级台阶跨2步台阶还差1步台阶的走法（初始化为走到第二级台阶的走法--原文）int two = 1;// 初始化为到达共3级台阶跨1步台阶还差2步台阶的走法（初始化为走到第一级台阶的走法--原文）// 定义一个参数，赋值0仅是初始化一下int sum = 0;for(int  i=3; i<=n; i++){// 最后跨2步 + 最后跨1步的走法sum = two + one;// two = n-1 时的one，one = n-1 时的sumtwo = one;one = sum;}return sum;}
}

对于上面两种方法的总结：

（1）递归相较于循环迭代效率低，但简洁易懂；循环迭代相较于递归效率高，但稍微复杂一些，且不易理解。

（2）两种方法看似相同，很大不同。递归是倒推，大的不断往前得到小的。循环迭代是顺推，小的累积得到大的。

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