这个题是很经典的生成树问题。第一次接触时对倍增算法的理解还不够透彻，没能打出来正解。

　　首先，原题中给出的是一幅图，询问从某点出发到另一点“需要经过的最短边的最大值”。用floyd来解决是可以的，但是数据范围不能承受O(n^3)的复杂度。于是我们考虑：假设原图是连通的，那么我们从某点到另一点，一定至少存在一条路径；而明显有一条路径是最优的，满足它所经过的最小边最大。既然这样，我们能不能把这条路径找出来呢？于是我们想对原图做一些处理。新的图应该满足：

　　1. 图仍是连通的。

　　2. 任意两点间的一条路径满足上述最优条件。

　　于是我们想到了生成树。从贪心的角度考虑，两点之间一定有一条这样的最优路径是最大生成树上的唯一路径。说明：因为最大生成树外的一条边一定小于等于树上的边权，那么它不可能比这条树上路径更优。

　　求出MST后，我们要维护的是树上路径的最小值信息。路径本身可以用LCA来搞，可是路径上的信息怎么预处理呢？联想ST算法，我们虽然不能维护任意两点间的信息，但是可以用倍增的思想，维护w(i, k)表示节点i到它的2^k代祖先所需经过的最短路径。w(i, 0)就是生成树上该点入边的权，然后按k从小到大转移，转移方程w(i, k) = min(w(i, k - 1), w(f[i][k-1], k-1))。其中f数组是按倍增法求LCA记录的祖先信息。最后查询时，所求的ans随LCA倍增算法更新最小值即可。

　　注意原图是不连通的，我们生成的实际上是一个森林，kruscal算法里维护的并查集可以帮助判断两个点是否在一个联通块内。

代码：

1. #include <iostream>
2. #include <cstdio>
3. #include <cstring>
4. #include <cctype>
5. #include <algorithm>
6. #define maxn 10010
7. #define maxm 50010
8. #define inf (int)2e9
9. using namespace std;
10. template <typename T>
11. void read(T &x) {
12. x = 0;
13. char ch = getchar();
14. while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
15. while (isdigit(ch)) {
16. x = x * 10 + (ch ^ 48);
17. ch = getchar();
18. }
19. return;
20. }
21. int n, m, q;
22. int head[maxn], top = 1;
23. struct E {
24. int to, nxt, w;
25. } edge[maxn << 1];
26. struct pE {
27. int u, v, w;
28. } pedge[maxm];
29. bool cmp(pE a, pE b) {
30. return a.w > b.w;
31. }
32. inline void insert(int u, int v, int w) {
33. edge[++top] = (E) {v, head[u], w};
34. head[u] = top;
35. }
36. namespace UFS {
37. int fa[maxn], rk[maxn];
38. void init1() {
39. for (int i = 1; i <= n; ++i)
40. fa[i] = i;
41. }
42. int find(int x) {
43. if (fa[x] == x) return x;
44. return fa[x] = find(fa[x]);
45. }
46. bool Union(int u, int v) {
47. u = find(u), v = find(v);
48. if (u == v) return false;
49. if (rk[u] < rk[v]) swap(u, v);
50. fa[v] = u;
51. rk[u] = max(rk[u], rk[v] + 1);
52. return true;
53. }
54. } using namespace UFS;
55. void kruscal() {
56. init1();
57. sort(pedge + 1, pedge + 1 + m, cmp);
58. for (int i = 1, cnt = 0; i <= m && cnt < n - 1; ++i) {
59. int u = pedge[i].u, v = pedge[i].v, w = pedge[i].w;
60. if (Union(u, v)) {
61. insert(u, v, w), insert(v, u, w);
62. ++cnt;
63. }
64. }
65. }
66. namespace LCA {
67. const int LG(14);
68. int w[LG+2][maxn], f[LG+2][maxn], d[maxn];
69. bool vis[maxn];
70. void dfs(int u, int pre, int depth) {
71. d[u] = depth;
72. f[0][u] = pre;
73. vis[u] = true;
74. for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {
75. int v = edge[i].to;
76. if (vis[v]) continue;
77. w[0][v] = edge[i].w;
78. //          cout << w[0][v];
79. dfs(v, u, depth + 1);
80. }
81. }
82. void init2() {
83. for (int i = 1; i <= n; ++i) {
84. if (vis[i]) continue;
85. dfs(i, 0, 1);
86. }
87. for (int k = 1; k <= LG; ++k)
88. for (int i = 1; i <= n; ++i) {
89. f[k][i] = f[k-1][f[k-1][i]];
90. w[k][i] = min(w[k-1][i], w[k-1][f[k-1][i]]);
91. //              cout <<w[k][i];
92. }
93. }
94. int query(int u, int v) {
95. if (find(u) != find(v)) return -1;
96. int ans = inf;
97. if (d[u] > d[v]) swap(u, v);
98. int del = d[v] - d[u];
99. for (int i = 0; del; ++i, del >>= 1)
100. if (del & 1)
101. ans = min(ans, w[i][v]), v = f[i][v];
102. if (u == v) return ans;
103. for (int i = LG; i >= 0; --i)
104. if (f[i][u] != f[i][v]) {
105. ans = min(ans, min(w[i][u], w[i][v]));
106. u = f[i][u], v = f[i][v];
107. }
108. return min(ans, min(w[0][u], w[0][v]));
109. }
110. } using namespace LCA;
111. int main() {
112. read(n), read(m);
113. int u, v, w;
114. for (int i = 1; i <= m; ++i) {
115. read(u), read(v), read(w);
116. if (u != v)
117. pedge[i] = (pE) {u, v, w};
118. }
119. kruscal();
120. init2();
121. read(q);
122. while (q--) {
123. read(u), read(v);
124. printf("%d\n", query(u, v));
125. }
126. return 0;
127. }

PS：看了这个题以后觉得树剖貌似是个好东西，有空学习一个。

（7.16）树上路径最小边权用树剖维护的确是很显然的，之后可以打一下。

（8.2）今日一份树剖奉上，开启我的暑假中二学习之旅。