物理引擎学习06-碰撞反馈

原本计划06章是一个碰撞检测的小demo，上手之后才发现，碰撞反馈也是一个非常复杂的话题，所以就单拎出来一章，详细说明。碰撞反馈是基于碰撞检测的结果，将发生接触的物体分离开，同时应用上物理效果，使碰撞表现的接近于自然情况。

本文作者游蓝海。原创不易，未经许可，禁止任何形式的转载。

1. 刚体运动

1.1 刚体的概念

刚体，英文称作Rigidbody，是物理世界中的一个基本运动单元，包含了位移、旋转、质量、速度、力等物理属性。在物理引擎中，通常会把刚体看做是一个不可见的点，通过附加上不同的形状，才能与其他物体发生交互。从代码设计的角度而言，就是一种组合模式：一个刚体，包含了若干个形状。

public class Rigidbody
{/// 位移public Vector2 position;/// 移动速度public Vector2 velocity;/// 质量public float mass;/// 质量的倒数。方便除法计算，对于静态物体，可以认为质量无限大，invMass=0，所有作用力相乘结果都是0。public float invMass;/// 持续作用力。持续影响移动速度public Vector2 force;/// 脉冲力。仅影响移动速度一次public Vector2 forceImpulse;/// 旋转角度public float rotation;/// 角速度。单位是度，计算作用力的时候，切记要转换成弧度。public float angleVelocity;/// 角动量。相当于旋转质量public float inertial;/// 角动量倒数。方便除法计算public float invInertial;/// 扭矩力。持续的影响旋转速度public float torque;/// 扭矩脉冲力。仅影响旋转速度一次public float torqueImpulse;/// 摩擦力public float fraction = 0.3f;/// 形状集合public List<Shape> shapes;
}

1.2 形状的概念

形状(Shape)，在一些物理引擎里也叫碰撞体(Collider)，描述了物体的轮廓信息。常用的2D形状有圆形、线段、多边形，三角形和矩形也可以归为多边形。

1.3 牛顿三大定律

详细内容可以参考百科-牛顿运动定律，这里仅简单回顾一下。

匀速运动。S = S0 + v * t
加速度。a = F / m; v = v0 + a * t
力是相互的。F' = -F

1.3 线性运动

主要影响物体的位移和位移的速度。

velocity += force * invMass * dt;
position += velocity * dt;

1.4 旋转运动

主要影响物体的角度和旋转速度。

angleVelocity += torque * invInertial * dt;
rotation += angleVelocity * dt;

2. 碰撞反馈

2.1 碰撞接触信息

两个形状是否发生碰撞，可以使用GJK算法进行检测。当检测到碰撞后，再使用EPA算法，计算穿透方向和穿透深度。至于碰撞接触点，简单起见，可以使用求最近距离的方式，从闵可夫斯基差集多边形的边上计算得到最近点。

if (!isCollision)
{computeClosetPoint(simplex.getSupport(0), simplex.getSupport(1));
}
else
{queryEPA();computeClosetPoint(currentEpaEdge.a, currentEpaEdge.b);
}
...
void getContacts(List<ContactInfo> list)
{Edge e = gjk.currentEpaEdge;ContactInfo a = new ContactInfo{point = gjk.closestOnA, // 接触点normal = e.normal, // 穿透方向penetration = e.distance, // 穿透深度};list.Clear();list.Add(a);}

2.2 反作用力

两个物体发生碰撞后，会产生反作用力将两个物体分离开。作用力和反作用力是相互的，两者大小相等，方向相反。碰撞分离的关键点，就是如何求得作用力，然后改变物体的运动速度和旋转角度。

已知两个物体碰撞后在某时刻的速度和质量，可以根据动量定律，求得该时刻的动量dF。以下公式是box2d中采用的动量计算公式：

ΔF⃗=mΔv⃗Δv⃗=v⃗1−v⃗2+u⃗1−u⃗2u⃗=r⃗twm=1kk=1m1+1m2+1I1q1+1I2q2qn=r2−∣r⃗⋅n⃗∣2qt=r2−∣r⃗⋅t⃗∣2\begin{aligned} & \Delta \vec F = m \Delta \vec v \\ & \Delta \vec v = \vec v_1 - \vec v_2 + \vec u_1 - \vec u_2 \\ & \vec u = \vec r_t \, w \\ & m = \frac{1}{k} \\ & k = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \frac{1}{I_1} q_1 + \frac{1}{I_2} q_2 \\ & q_n = r^2 - |\vec r \cdot \vec n|^2 \\ & q_t = r^2 - |\vec r \cdot \vec t|^2 \end{aligned} ΔF=mΔvΔv=v1−v2+u1−u2u=rtwm=k1k=m11+m21+I11q1+I21q2qn=r2−∣r⋅n∣2qt=r2−∣r⋅t∣2

dv是该时刻两个物体上的碰撞点的相对速度，包含线性移动速度v和旋转速度u之和。
u是碰撞点的旋转速度，而不是刚体的旋转速度。点的旋转速度为点在单位时间沿着圆周转过的弧长，设点到中心的半径为r，刚体转速为w弧度/秒，则单位时间转过的弧长为: u = r * w。而旋转方向，就是点到中心向量的切线方向；
m是该时刻的有效质量。这个我还没有弄清楚，如果有懂的朋友，不妨留言说明一下；
q是点的旋转惯性。也是没有理解。注意，旋转惯性在法线方向和切线方向不一样，需要分开计算。

为了方便计算，沿着穿透向量方向，可以将作用力分解为平行和垂直的两个分量，分别记作法线方向n和切线方向t。法线方向主要体现为反弹力，切线方向主要体现为摩擦力。

ΔFn=max⁡(mnΔvn,0)Δvn=Δv⃗⋅n⃗ΔFt=clamp(mtΔvt,−μΔFn,μΔFn)Δvt=Δv⃗⋅t⃗\begin{aligned} & \Delta F_n = \max(m_n \Delta v_n, 0) \\ & \Delta v_n = \Delta \vec v \cdot \vec n \\ & \Delta F_t = clamp(m_t \Delta v_t, -\mu \Delta F_n, \mu \Delta F_n) \\ & \Delta v_t = \Delta \vec v \cdot \vec t \\ \end{aligned} \\ ΔFn=max(mnΔvn,0)Δvn=Δv⋅nΔFt=clamp(mtΔvt,−μΔFn,μΔFn)Δvt=Δv⋅t

作用力Fn初始的时候是指向穿透方向的，也就是正数，反作用力是-Fn。碰撞的过程中受力是连续发生变化的，作用力会由大变小，直到变为0。发起碰撞的刚体，其速度会逐步减小至0，然后开始反向运动，当反作用力为0的时候，其速度也就达到了最大值。整个碰撞过程中，Fn的值是需要限定到0以上的，否则又会把物体拉回来。

作用力Ft会让物体侧滑，而滑动就要受到摩擦力的影响。u = 1 - fraction，当摩擦系数fraction=0的时候，侧滑作用力达到最大；当摩擦系数fraction = 1的时候，没有侧滑作用力。

2.3 速度改变

发起碰撞的刚体body1，受到反向作用力；被碰撞的刚体body2，受到正向作用力。

// 法线和切线方向力之和
Vector2 F = normal * Fn + tangent * Ft;
// 刚体中心点到碰撞接触点的向量
Vector2 r1 = point - body1.position;
Vector2 r2 = point - body2.position;body1.velocity += -F / body1.m;
body1.angleVelocity += cross(-F, r1) * body1.angleVelocity / body1.I;body2.velocity += F / body2.m;
body2.angleVelocity += cross(F, r2) * body2.angleVelocity / body2.I;

2.4 重叠分离

当两个物体发生重叠，在没有运动速度，或者速度很小的时候，是无法依靠碰撞反馈来将两个物体分开的。比如，通过代码直接设置了物体坐标，导致物体间发生了重叠。针对这种情况，需要增加一个分离速度，将发生重叠的物体“挤”出去。

设重叠的深度为s，则分离速度为：v = s / dt，在计算碰撞作用力的时候，叠加上这样一个偏移速度，就可以产生一个挤出力。但是，当时间dt很小的时候，这个分离速度将会变的很大，看起来很不真实。可以通过给公式增加一些系数，来灵活控制挤出速度。
ΔFn=max⁡(mn(Δvn+vb),0)vb=βmax⁡(0,s−δ)Δt,(β是缩放系数，δ是可容忍的穿透深度)\Delta F_n = \max(m_n(\Delta v_n + v_b), 0) \\ v_b = \frac{ \beta \max(0, s - \delta)}{\Delta t}, \\ (\beta是缩放系数，\delta是可容忍的穿透深度) ΔFn=max(mn(Δvn+vb),0)vb=Δtβmax(0,s−δ),(β是缩放系数，δ是可容忍的穿透深度)

3. 范例

本章Demo使用Unity3D引擎开发，Demo工程已上传github: https://github.com/youlanhai/learn-physics/tree/master/Assets/06-seperation

4. 参考

Erin Catto, GDC 2006 Physics Tutorial
Erin Catto, How Do Physics Engines Work
box2d-lite 轻量级的物理引擎
box2d物理引擎文档
chipmunk物理引擎文档

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