实验三　求代数方程的近似根(解)

求代数方程的根是最常见的数学问题之一(这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程)，当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．

当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．

本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．

通过本实验希望你能：

1.了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；

2.求代数方程(组)的解．

1．abs( )：求绝对值函数．

2．diff(f)：对独立变量求微分，f为符号表达式．

diff(f, 'a')：对变量a求微分，f为符号表达式．

diff(f, 'a', n)：对变量a求n次微分，f为符号表达式．

例如：

syms x t

diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)

ans=

720*sin(x^2)

3．roots([c(1), c(2),…, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：

求解：．

p = [1  -6  -72  -27];

r = roots(p)

r =

12.1229

-5.7345

-0.3884

4．solve('表达式')：求表达式的解．

solve('2*sin(x)=1')

ans =

1/6*pi

5．linsolve(A, b)：求线性方程组A*x=b的解．

例如：

A= [9  0;  -1  8];  b=[1;  2];

linsolve(A, b)

ans=

[  1/9]

[19/72]

6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．

例如：

fzero(@sin, 3)

ans=

3.1416

7．subs(f, 'x ', a)：将a的值赋给符号表达式f中的x，并计算出值．

例如：

subs('x^2 ', 'x ', 2)

ans = 4

首先，我们介绍几种与求根有关的方法：

1．对分法

对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．

设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．

下面的方法可以求出该根：

(1)令，计算；

(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．

若，则令，，若，则令，；．

……，有、以及相应的．

(3)若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；

反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．

当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有

以上公式可用于估计对分次数．

分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．

2.迭代法

1)迭代法的基本思想：

由方程构造一个等价方程

从某个近似根出发，令

，

可得序列，这种方法称为迭代法．

若收敛，即

，

只要连续，有

即

可知，的极限是的根，也就是的根．

当然，若发散，迭代法就失败．

以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：

定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．

定理1：设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．

定理2：条件同定理1，则

定理3：已知方程，且

(1)对任意的，有．

(2)对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．

以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：

当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛(参见附录3)．

2)迭代法的加速：

a)松弛法：

若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．

迭代方程是：

其中，令，试确定：

当时，有，即当，时，

可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，

松弛法的加速效果是明显的(见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．

b) Altken方法：

松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的Altken公式：

，是它的根，是其近似根．

设，，因为

，

用差商近似代替，有

，

解出，得

由此得出公式

；

；

，

这就是Altken公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．

3.牛顿(Newton)法(牛顿切线法)

1)牛顿法的基本思想：

是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．

记：

是一次多项式，用作为的近似方程．

的解为

  

记为，一般地，记

  

即为牛顿法公式.

2)牛顿法的收敛速度：

对牛顿法，迭代形式为：

注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．

牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．

因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．

4.求方程根(解)的其它方法

(1) solve('x^3-3*x+1=0')

(2) roots([1 0 -3 1])

(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)

(4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5)

(5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4)

(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')

体会一下，(2)(5)用了上述13中的哪一种方法？

以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．

具体实验1：对分法

先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．

输入以下命令，可得的图象：

f='x^3-3*x+1';

g='0';

ezplot(f,  [-4,  4]);

hold on;

ezplot(g,  [-4,  4]);       %目的是画出直线y=0，即x轴

grid on;

axis([-4 4 -5 5]);

hold off

请填写下表：

实根的分布区间

该区间上根的近似值

在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．

具体实验2：普通迭代法

采用迭代过程：求方程在0.5附近的根，精确到第4位小数．

构造等价方程：

用迭代公式：，

用Matlab编写的程序参见附录2．

请利用上述程序填写下表：

分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．

用Matlab编写的程序参见附录3．

具体实验3：收敛/发散判断

设方程的三个根近似地取，和，

这些近似值可以用上面的对分法求得．

迭代形式一：

收敛(很可能收敛，下同)

不收敛(很可能不收敛，下同)

不收敛

迭代形式二：

收敛

不收敛

不收敛

迭代形式三：

不收敛

收敛

收敛

具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法

，，

迭代公式为

程序参见附录4．

具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法

迭代公式为：

，

，

程序参见附录5．

具体实验6：牛顿法

用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．

提示：，迭代公式：

程序参见附录6(牛顿法程序)．

具体实验7：其他方法

求下列代数方程(组)的解：

(1)

命令：solve('x^5-x+1=0')

(2)

命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')

(3)求线性方程组的解，已知，

命令：

for i=1:5

for j=1:5

m(i, j)=i+j-1;

end

end

m(5, 5)=0;

b=[1:5]'

linsolve(m, b)

思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？

1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗?为什么?

2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?

3．选择适当的迭代过程，分别使用：(1)普通迭代法；(2)与之相应的松弛迭代法和Altken迭代法．求解方程在1.4附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．

4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)