一不动点是什么？

不动点，其实定义比较简单，对于一些方程，例如f(x)=cosx，那么令cosx=x的点就是函数的不动点，说白了，就是y=x这条直线与函数曲线的交点。这个不动点有什么用呢？请继续往下看。

二不动点迭代法的实现

不动点迭代法，是求方程的迭代方法。为什么要迭代的求，直接法不好吗？直接法显然比较好，但是存在弊端，比如函数形式较复杂时，求解器不容易直接求得。利用不动点的性质，可以将函数的求解问题转化为不动点方程，从而使用有限次迭代求得方程的解。

其实不动点迭代的代码相对简单而且易懂：

x0=3;
x=x0;
k=10;
ezplot(@(x,f)f-((x-1).^2+1)) %画出函数图像
%构造的不动点方程为：x=2-x,斜率不行，构造其他的本次是两边同时加x^2
axis([-5,5,-3,10]) %固定坐标轴
hold on
for i=1:k %迭代k次
x=(2-x0+1*x0^2)/(1*x0+1); %-2*x为梯度反方向，step为步长，！最速下降法！
f_current=(x-1)^2+1;
f_error=abs((x-1)^2-(x0-1)^2);
plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %标记当前的位置
drawnow;pause(0.2);
x0=x;
if f_error<0.000001
break;
end
end

上述代码是利用FPI求解函数 $f(x)=(x-1)^{2}+1$ 的极小值。我们知道，该函数的极值在驻点处，也就是一阶导数为0的地方，求导得 $f^{'}(x)=2(x-1)=0$ 。其实一眼就看出来的解，这里只是作为说明，以简单的例子说明一般问题。到这一步了，如何构造FPI呢？其实只需将x剥离出来，也就是:

$f^{'}(x)=2(x-1)=0 \rightarrow x=2-x \rightarrow x_{k+1}=2-x_{k}=g(x_{k})$

但是FPI收敛的条件是:

$|g^{'}(x_{0})|<1$

因此，我们需要对迭代方程进行改造。我们在方程两侧加上一项x^2:

$x+x^{2}=2-x+x^{2}\rightarrow x(x+1)=2-x+x^{2} \rightarrow x=\frac{2-x+x^{2}}{(x+1)} \rightarrow x_{k+1}=\frac{2-x_{k}+x_{k}^{2}}{(x_{k}+1)}$

这样，得到的FPI即可满足要求。为什么加x^2？其实我也是偶然凑出来的。

三不动点迭代法的作用

受FPI算法思想的影响，可以创造出一些有趣的算法，用于求类似的方程或方程组的解。

其实之前也不了解该方法，只是看书的时候遇见了一个IRLS-based Iteration shrinkage算法，里面用到了不动点迭代法的思想，加深理解。

书中的问题也是寻找方程组的驻点：

其实使用共轭梯度法或者直接法也能求出解，作为一种新的想法，Adeyemi and Davies将方程两侧均加入了cx，使用构造不动点方程：

将x归纳后，一部分移至一侧，加入迭代索引：

最终：

其中W是对角矩阵，因此其逆就等于是将W的对角元素取倒数即可。但是该方法有个痛点，也就是一旦W对角元素为0，那么它就永远为0了，算法可能就会陷入尴尬的境地。

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