最长非降子序列动态规划 java

1. 案例提出

给定一个由n个正整数组成的序列，从该序列中删除若干个整数，使剩下的整数组成非降子序列，求最长的非降子序列。

例如，由12个正整数组成的序列为：

48，16，45，47，52，46，36，28，46，69，14，42

请在序列中删除若干项，使剩下的项为非降（即后面的项不小于后面的项）序列，剩下的非降序列最长为多少项？

2．递推实现动态规划设计

设序列的各项为a[1],a[2],…,a[n]（可随机产生，也可从键盘依次输入），对每一个整数操作为一个阶段，共为n个阶段。

（1）建立递推关系

设置b数组，b[i]表示序列的第i个数（保留第i个数）到第n个数中的最长非降子序列的长度，i=1,2,…,n。对所有的j>i，比较当a[j]≥a[i]时的b[j]的最大值，显然b[i]为这一最大值加1，表示加上a[i]本身这一项。

因而有递推关系：

b[i]=max(b[j])+1 (a[j]≥a[i],1≤i<j≤n)

边界条件：b[n]=1

（2）逆推计算最优值

b[n]=1;

for(i=n−1;i>=1;i−−)

{max=0;for(j=i+1;j<=n;j++)

if(a[i]<=a[j]&& b[j]>max)

max=b[j];

b[i]=max+1; // 逆推得b[i]

}

逆推依次求得b[n−1],…,b[1]，比较这n−1个值得其中的最大值lmax，即为所求的最长非降子序列的长度即最优值。

（3）构造最优解

从序列的第1项开始，依次输出b[i]分别等于lmax,lmax−1,…,1的项a[i]，这就是所求的一个最长非降子序列。

3. 递归实现动态规划设计

（1）建立递归关系

设q(i)表示序列的第i个数（保留第i个数）到第n个数中的最长非降子序列的长度，i=1,2,…,n。对所有的j>i，比较当a[j]≥a[i]时的q(j)的最大值，显然q(i)为这一最大值加1，表示加上a[i]本身这一项。

因而有递归关系：

q(i)=max(q(j))+1 (a[j]≥a[i],1≤i<j≤n)

递归出口：q(n)=1

（2）递归函数设计

int q(int i)

{int j,f,max;

if(i==n)f=1;

else

{ max=0;

for(j=i+1;j<=n;j++)

if(a[i]<=a[j]&& q(j)>max)

max=q(j);

f=max+1;

}

returnf;

}

(3) 在主函数中依次调用q(n−1),…,q(1)，比较这n−1个值得其中的最大值lmax，即为所求的最长非降子序列的长度即最优值。

（4）构造最优解

从序列的第1项开始，依次输出q(i)分别等于lmax,lmax−1,…,1所那就的项a[i]，这就是所求的一个最长非降子序列。

（5）递归实现动态规划程序设计

// 递归实现动态规划

package basic_practice;import java.util.Scanner;public class anlian_bfs {static int a[]=new int[20];//默认值为0static int n;static int q(int i){//第i个数字到第n个数字的最长非降数字个数int j,f,max;if(i==n)f=1;   //递归出口，如果是第n个数，则为1else {max=0;for(j=i+1;j<n;j++){if(a[j]>a[i]&&q(j)>max){//因为a[i]比a[j]小，所以a[i]就可以加入a[j]到a[n]构成的非降序列，长度加一max=q(j);}}f=max+1;//长度加一}return f;}public static void main(String[] args) {Scanner in=new Scanner(System.in);n=in.nextInt();for(int i=0;i<n;i++)a[i]=in.nextInt();int lmax=0;for(int i=n-1;i>=1;i--)              if(q(i)>lmax) lmax=q(i); //逐个比较求最大System.out.println(lmax);//System.out.println(q(1));int  x=lmax;for(int i=1;i<=n;i++)if(q(i)==x){System.out.print(a[i]+" ");//每个非降序列的第一个元素x--;} }
}

4．程序运行示例与讨论

运行程序

48 16 45 47 52 46 36 28 46 69 14 42

输出：

16 45 47 52 69

注意，所给序列长度为5的非降子序列可能有多个，这里只输出其中一个。

由上可知，在动态规划设计中，最优值可经递推得到，也可经递归得到。一般地，应用递推效率更高些，以下各案例的动态规划设计中均应用递推得最优值。

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