前言

先分享一篇文章《动态规划：从新手到专家》，作者正是通过这篇文章来学习的。文中对动态规划的设计思想做了非常详细的介绍，并通过简单问题和复杂问题对动态规划的设计流程进行剖析，以下是作者和出处：

作者：Hawstein

出处：http://hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html

问题描述

先介绍下问题，给定长度为N的整数序列：A[1], A[2], ......, A[N]，求得其中最长非降子序列的长度，即LIS(longest increasing subsequence)。比如如下的整数序列：

5, 3, 4, 8, 6, 7

其最大非降子序列即为3, 4, 6, 7，长度为4。

动态规划求解

那么如何用动态规划来求解这个问题呢？动态规划中最重要的一部分就是定义状态转移方程，在这个问题中，如果我们定义d[i]为序列A[1], A[2], ..., A[i]的最长非降子序列，但很可惜，在后面思考中，我发现，d[i]和d[i-1]之间很难建立起状态转移关系，A[1]~A[i-1]和A[1]~A[i]二者的最长非降子序列间不一定有公共的部分，如1, 4, 2, 5, 3中前四个整数和前五个整数的最大非降子序列不一定有共同的部分，无法建立起状态转移关系。但如果用d[i]表示以元素A[i]结束的最长非降子序列的长度，那状态方程就有规律可循了，我们以上面的序列为例：

d(1) = max{1}; //只有5

d(2) = max{1}; //3之前没有比3小的

d(3) = max{1, d(2) + 1} = 2; //4之前有3

d(4) = max{1, d(2) + 1, d(3) + 1} = 3; //8之前有3, 4

d(5) = max{1, d(2) + 1, d(3) + 1} = 3; //6之前有3, 4

d(6) = max{1, d(2) + 1, d(3) + 1, d(5) + 1} = 4; //7之前有3, 4, 6

LIS = max(d[i]) = 4, 1 <= i < = 6

从上面的流程来看，先求出这个序列中以每个元素作为结尾的最大非降子序列的长度，那问题的解总是以序列中某个元素作为结尾的，所以取最大值即可。而且从上面的公式我们很容易看出求d[i]的过程，简单来说，就是从i往前找，如果某个元素A[j] < = A[i]，那么以元素A[j]结尾的最长非降子序列再加上A[i]一定也是一个非降子序列，d[j] + 1肯定是一个非降子序列长度，找到所有符合条件的j，所有符合条件的d[j] + 1的最大值就一定是d[i]的值。从另一个角度去看，因为以A[i]为结尾的最长子序列的倒数第二个元素（假设长度不小于2）肯定是A[i]之前的某一个元素，所有A[j]作为倒数第二个元素的序列就是以A[i]为结尾的子序列。当然，还要考虑特殊的情况，假设A[i]之前没有比其更小的元素，则子序列就是其本身，长度为1。综上所述，状态转移方程如下：

d[i] = max(1, max(d[j] + 1)), 1 <= j < i, A[j] <= A[i];

最后问题的解即为：

LIS = max(d[i]); 1 <= i <= n, n为序列的长度

文章最后，贴上代码：

#include <iostream>
using namespace std;int LIS(int data[], int n)
{int *d = new int[n];int len = 1;for(int i = 0; i < n; i++){d[i] = 1;for(int j = 0; j < i; j++){if(data[j] <= data[i]){if(d[j] + 1 > d[i]){d[i] = d[j] + 1;}}}if(d[i]>len) len = d[i];}return len;
}int main()
{int data[] = {1, 2, 3, 4, 5, 0};cout << LIS(data, 6) << endl;return 0;
}

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