平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称AVL树。AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。这种结构完成一系列集合操作时，时间复杂度与空间复杂度比其他树要低，一系列操作始终保持平衡！为大型数据库的组织、索引提供了一条全新的的道路！

1、BST树的不足

现给定一组有序数列[1, 2, 3, 4, 5, 6]，要求创建一颗二叉排序树(BST)，并分析问题所在！

由数列[1, 2, 3, 4, 5, 6]构成的BST树，如上图所示。那么这棵树存在的问题有以下几点：

1、左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表，实际上已经退化成一个单链表了

2、对于插入、删除、修改速度是没有影响，但是这种结构查询效率会明显降低（因为需要依次比较）不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，器查询速度比单链表还慢。

因此为了解决二叉排序树(BST)退化成链表的问题，出现了一种全新的树结构(AVL树)，这种结构不仅能防止退化成单链表，还在插入，查找，删除得到了进一步的改善，所使用的时间复杂度和空间复杂度相较于其他树更低！

2、AVL树介绍

1、平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为 AVL 树，可以保证查询效率较高。

2、具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL算法、替罪羊树、Treap、伸展树等。

如上图左边就是一颗平衡二叉树(AVL树)，需要注意的是：平衡二叉树必须是一颗二叉排序树(BST)，在BST树的基础上满足左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

3、使用代码构建AVL树

AVL树的构建又有些复杂，构建方式与BST树类似，是在BST树的基础上进行改造使之满足AVL树的特性，因此改造方式我们使用左旋转(单旋转)/右旋转(单旋转)/双旋转。

注意：一定是构建BST树时左右两个子树的高度差的绝对值大于1才使用左旋转或右旋转！具体使用那种方式旋转由左右子树的高度决定。如左子树的高度大于右子树时，需要使用右旋转来降低左子树的高度。左右旋转都属于单旋转，只需旋转一次，非平衡二叉树就能转换成平衡二叉树，但是某些情况下单旋转不能完成平衡二叉树的转换，需要进行双旋转才行。

3.1、左旋转法构建

我们还是给定一串数组[4, 3, 6, 5, 7, 8]，要求创建出数组对应的平衡二叉树（AVL）树。此数组对应的BST树如下：

我们发现，左右两个子树的高度差的绝对值已经大于1了，已经不再是一颗AVL树了，并且右子树的高度明显要高于左子树的高度，为了降低右子树的高度，就需要使用左旋转的方式改造BST树。左旋转思路分析：

创建一个新的节点newNode（以4这个值创建），创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
把新节点的左子树设置为当前节点左子树newNode.left = left
把新节点的右子树设置为当前借节点的右子树的左子树newNode.right = right.left
把当前节点的值换为右子节点的值value = right.value
把当前节点的右子树设置成右子树的右子树right = right.right
把当前节点的左子树设置为新节点left = newLeft

代码示例：

package com.laizhenghua.tree;/*** @description: 平衡二叉树的构建* @date: 2021/11/12 20:13*/
public class BalancedBinaryTree {public static void main(String[] args) {// 创建数组int[] array = new int[]{4, 3, 6, 5, 7, 8};// 创建AVL树AVLTree avlTree = new AVLTree();for (int i = 0; i < array.length; i++) {Node node = new Node(array[i]);avlTree.add(node);}// 中序遍历avlTree.infixOrder();// 在没有使用左旋转处理之前（它是一个BST树）System.out.println("树的高度 = " + avlTree.getRoot().getTreeHeight()); // 4System.out.println("左子树高度 = " + avlTree.getRoot().getLeftHeight()); // 1System.out.println("右子树高度 = " + avlTree.getRoot().getRightHeight()); // 3// 毫无疑问右子树的高度减去左子树的高度已经大于1了，所以要使用左旋转处理// 改造Node类的add()方法（后面if判断为追加内容）// 再次执行main方法。树的高度 = 3 左子树高度 = 2 右子树高度 = 2}
}
// 创建AVL树
class AVLTree {private Node root;public AVLTree() {}public Node getRoot() {return this.root;}// 添加节点public void add(Node node) {if (root == null) {root = node;} else {root.add(node);}}// 中序遍历public void infixOrder() {if (root == null) {System.out.println("This tree is null");}root.infixOrder();}
}
// 创建Node节点
class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}// 添加节点public void add(Node node) {if (node == null) {return;}if (this.value < node.value) {if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node); // 递归向左子树添加}} else {if (this.left == null) {this.left = node;} else {this.left.add(node); // 递归向右子树添加}}// 当添加完一个节点需要判断：(右子树的高度 - 左子树的高度) > 1  如果满足则做 左旋转 处理if (this.getRightHeight() - this.getLeftHeight() > 1) {this.leftRotation();}}// 中序遍历public void infixOrder() {if (this.left != null) {this.left.infixOrder();}System.out.println(this);if (this.right != null) {this.right.infixOrder();}}// 返回以该节点为根节点树的高度public int getTreeHeight() {return Math.max(left == null ? 0 : left.getTreeHeight(), right == null ? 0 : right.getTreeHeight()) + 1;}// 计算左子树高度public int getLeftHeight() {if (left == null) {return 0;}return left.getTreeHeight();}// 计算右子树高度public int getRightHeight() {if (right == null) {return 0;}return right.getTreeHeight();}// 左旋转方法private void leftRotation() {// 1、创建新的节点（值为根节点的值）Node newNode = new Node(this.value);// 2、把新节点的左子树设置为当前节点的左子树newNode.left = this.left;// 3、把新节点的右子树设置为带你过去节点的右子树的左子树newNode.right = right.left;// 4、把当前节点的值替换成右子节点的值this.value = this.right.value;// 5、把当前节点的右子树设置为右子树的右子树this.right = this.right.right;// 6、把当前节点的左子树（左子节点）设置为新的节点this.left = newNode;}@Overridepublic String toString() {return "Node{" + "value=" + value + "}";}
}

3.2、右旋转法构建

前面数组我们已经构建出来了对应的AVL树，右旋转法我们换一组数组，这组数组对应的BST树满足左子树的高度高于右子树的高度。

以{10, 12, 8, 9, 7, 6}为例。右旋转法也是和左旋转一样为了满足AVL树的特性、添加节点时(满足getLeftHeight() - getRightHeight() > 1 成立)做一次特殊处理(降低左子树的高度)。旋转过程如下：

创建一个新节点newNode(以10这个值创建)，并且新节点的值等于当前根节点的值
把新节点的右子树设置为当前节点的右子树newNode.right = this.right
把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树newNode.left = this.left.right
把当前节点的值换为左子节点的值this.value = this.left.value
把当前节点的左子树设置为左子树的左子树this.left = this.left.left
把当前节点的右子树设置为新节点this.right = newLeft

图示：

代码实现（基于左旋转代码新增方法）：

// 右旋转方法
private void rightRotation() {Node newNode = new Node(this.value);newNode.right = this.right;newNode.left = this.left.right;this.value = this.left.value;this.left = this.left.left;this.right = newNode;
}

未做右旋转处理之前，中序遍历即树的高度

Node类的add()方法新增右旋转处理逻辑：

// 添加节点
public void add(Node node) {if (node == null) {return;}if (this.value < node.value) {if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node); // 递归向左子树添加}} else {if (this.left == null) {this.left = node;} else {this.left.add(node); // 递归向右子树添加}}// 当添加完一个节点需要判断：(右子树的高度 - 左子树的高度) > 1  如果满足则做 左旋转 处理if (this.getRightHeight() - this.getLeftHeight() > 1) {this.leftRotation();}// 当添加完一个节点需要判断：(左子树的高度 - 右子树的高度) > 1  如果满足则做 右旋转 处理if (this.getLeftHeight() - this.getRightHeight() > 1) {this.rightRotation();}
}

再次执行main方法：

3.3、双旋转法构建

前面的两个数组，进行单旋转（即一次旋转）就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。

比如数组：int[] array = new int[]{10, 11, 7, 6, 3, 9}; 或者是int[] array = new int[]{2, 1, 6, 5, 7, 3};

可以运行原来的代码验证！并没有转成AVL树。

解决思路分析：

满足右旋转的条件时，如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度，先对当前这个节点的左节点进行左旋转！再对当前节点进行右旋转。
满足左旋转的条件时，如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的高度，先对当前这个节点的右节点进行右旋转！再对当前节点进行左旋转。

如：

// 添加节点
public void add(Node node) {if (node == null) {return;}if (this.value < node.value) {if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node); // 递归向左子树添加}} else {if (this.left == null) {this.left = node;} else {this.left.add(node); // 递归向右子树添加}}// 当添加完一个节点需要判断：(右子树的高度 - 左子树的高度) > 1  如果满足则做 左旋转 处理if (this.getRightHeight() - this.getLeftHeight() > 1) {// 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的高度if (this.right != null && this.right.getLeftHeight() > this.right.getRightHeight()) {// 先对右子节点进行右旋转this.right.rightRotation();this.leftRotation();} else {this.leftRotation();}return;}// 当添加完一个节点需要判断：(左子树的高度 - 右子树的高度) > 1  如果满足则做 右旋转 处理if (this.getLeftHeight() - this.getRightHeight() > 1) {// 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度if (this.left != null && this.left.getRightHeight() > this.left.getLeftHeight()) {// 先对当前节点的左节点(左子树)进行左旋转this.left.leftRotation();this.rightRotation();} else {// 直接进行右旋转即可this.rightRotation();}}
}

mian方法验证

public static void main(String[] args) {int[] array = new int[]{10, 11, 7, 6, 3, 9};// 创建AVL树AVLTree avlTree = new AVLTree();for (int i = 0; i < array.length; i++) {Node node = new Node(array[i]);avlTree.add(node);}// 中序遍历avlTree.infixOrder();// 在没有使用左旋转处理之前（它是一个BST树）树的高度System.out.println("树的高度 = " + avlTree.getRoot().getTreeHeight());System.out.println("左子树高度 = " + avlTree.getRoot().getLeftHeight());System.out.println("右子树高度 = " + avlTree.getRoot().getRightHeight());}

输出结果：

END

THANK YOU