acm-(辗转相除法、丢番图方程)2020 China Collegiate Programming Contest Qinhuangdao Site I. Interstellar Hunter

传送门
本题其实就是给定若干个整数向量(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，询问对于整数向量(x,y)(x,y)(x,y)而言是否能够找到一组整数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an使得a1(x1,y1)+a2(x2,y2)+...+an(xn,yn)=(x,y)a_1(x_1,y_1)+a_2(x_2,y_2)+...+a_n(x_n,y_n)=(x,y)a1(x1,y1)+a2(x2,y2)+...+an(xn,yn)=(x,y)。

首先给出一个结论，任意多个整数向量(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)的整数线性组合所形成的空间可以被两个整数向量(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)通过整数线性组合所表出。

证明：考虑用数学归纳法来证明，
对于一个整数向量(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)而言，一定可以被(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)和(0,0)(0,0)(0,0)表出，满足要求；
而对于两个整数向量(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x1,y1),(x2,y2)而言，设d=gcd(x1,x2)d=gcd(x_1,x_2)d=gcd(x1,x2)，根据裴蜀定理∃e1,e2∈Z,e1x1+e2x2=d\exist e_1,e_2\in Z,e_1x_1+e_2x_2=d∃e1,e2∈Z,e1x1+e2x2=d，那么我们有e1(x1,y1)+e2(x2,y2)=(d,e1y1+e2y2)e_1(x_1,y_1)+e_2(x_2,y_2)=(d,e_1y_1+e_2y_2)e1(x1,y1)+e2(x2,y2)=(d,e1y1+e2y2)，此外我们还有x2d(x1,y1)−x1d(x2,y2)=(0,x2dy1−x1dy2)\frac {x_2}d(x_1,y_1)-\frac{x_1}d(x_2,y_2)=(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)dx2(x1,y1)−dx1(x2,y2)=(0,dx2y1−dx1y2)，而(d,e1y1+e2y2)(d,e_1y_1+e_2y_2)(d,e1y1+e2y2)与(0,x2dy1−x1dy2)(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)(0,dx2y1−dx1y2)就是与(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x1,y1),(x2,y2)等价的一组基。
注意到若(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)与(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)线性无关，则x2y1−x1y2≠0x_2y_1-x_1y_2\ne 0x2y1−x1y2=0成立，于是有(d,e1y1+e2y2)(d,e_1y_1+e_2y_2)(d,e1y1+e2y2)与(0,x2dy1−x1dy2)(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)(0,dx2y1−dx1y2)是线性无关的。而当(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)与(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)线性相关时满足(0,x2dy1−x1dy2)=(0,0)(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)=(0,0)(0,dx2y1−dx1y2)=(0,0)。
我们再看看这组基为何与(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x1,y1),(x2,y2)等价，将刚才的两个方程反解一下：
{e1(x1,y1)+e2(x2,y2)=(d,e1y1+e2y2)x2d(x1,y1)−x1d(x2,y2)=(0,x2dy1−x1dy2)⇒{(x1,y1)=x1d(d,e1y1+e2y2)+e2(0,x2dy1−x1dy2)(x2,y2)=x2d(d,e1y1+e2y2)−e1(0,x2dy1−x1dy2)\begin{cases}e_1(x_1,y_1)+e_2(x_2,y_2)=(d,e_1y_1+e_2y_2)\\\frac {x_2}d(x_1,y_1)-\frac{x_1}d(x_2,y_2)=(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2) \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(x_1,y_1)=\frac{x_1}d(d,e_1y_1+e_2y_2)+e_2(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2) \\(x_2,y_2)=\frac{x_2}d(d,e_1y_1+e_2y_2)-e_1(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)\end{cases}{e1(x1,y1)+e2(x2,y2)=(d,e1y1+e2y2)dx2(x1,y1)−dx1(x2,y2)=(0,dx2y1−dx1y2)⇒{(x1,y1)=dx1(d,e1y1+e2y2)+e2(0,dx2y1−dx1y2)(x2,y2)=dx2(d,e1y1+e2y2)−e1(0,dx2y1−dx1y2)
反解后不难发现两个向量组可以互相线性表出，也就是两者等价，即{(x1,y1),(x2,y2)}\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}{(x1,y1),(x2,y2)}与{(d,e1y1+e2y2),(0,x2dy1−x1dy2)}\{(d,e_1y_1+e_2y_2),(0,\frac{x_2}dy_1-\frac{x_1}dy_2)\}{(d,e1y1+e2y2),(0,dx2y1−dx1y2)}等价，也可以写成∀x1,y1,x2,y2∈Z,∃a,b,c∈Z\forall x_1,y_1,x_2,y_2\in Z,\exist a,b,c\in Z∀x1,y1,x2,y2∈Z,∃a,b,c∈Z使得{(x1,y1),(x2,y2)}\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}{(x1,y1),(x2,y2)}与{(a,b),(0,c)}\{(a,b),(0,c)\}{(a,b),(0,c)}等价。

最后我们考虑对于向量组{(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)}\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_n,y_n)\}{(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)}而言假设其等价于向量组{(a,b),(0,c)}\{(a,b),(0,c)\}{(a,b),(0,c)}，根据数学归纳法，现在新加入一个向量(xn+1,yn+1)(x_{n+1},y_{n+1})(xn+1,yn+1)，我们要证明∃a′,b′,c′∈Z\exist a',b',c'\in Z∃a′,b′,c′∈Z使得新的向量组{(x1,y1),...,(xn+1,yn+1)}\{(x_1,y_1),...,(x_{n+1},y_{n+1})\}{(x1,y1),...,(xn+1,yn+1)}仍然与两个向量构成的向量组{(a′,b′),(0,c′)}\{(a',b'),(0,c')\}{(a′,b′),(0,c′)}所等价。

由于{(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)}\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_n,y_n)\}{(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)}等价于{(a,b),(0,c)}\{(a,b),(0,c)\}{(a,b),(0,c)}，我们不妨看能否将{(a,b),(0,c)}\{(a,b),(0,c)\}{(a,b),(0,c)}与(xn+1,yn+1)(x_{n+1},y_{n+1})(xn+1,yn+1)合并成{(a′,b′),(0,c′)}\{(a',b'),(0,c')\}{(a′,b′),(0,c′)}，首先根据前面的结论我们知道∃a′′,b′′,c′′∈Z\exist a'',b'',c''\in Z∃a′′,b′′,c′′∈Z使得{(a,b),(xn+1,yn+1)}\{(a,b),(x_{n+1},y_{n+1})\}{(a,b),(xn+1,yn+1)}等价于{(a′′,b′′),(0,c′′)}\{(a'',b''),(0,c'')\}{(a′′,b′′),(0,c′′)}，于是{(a,b),(0,c),(xn+1,yn+1)}\{(a,b),(0,c),(x_{n+1},y_{n+1})\}{(a,b),(0,c),(xn+1,yn+1)}等价于{(a′′,b′′),(0,c′′),(0,c)}\{(a'',b''),(0,c''),(0,c)\}{(a′′,b′′),(0,c′′),(0,c)}，注意到{(0,c′′),(0,c)}\{(0,c''),(0,c)\}{(0,c′′),(0,c)}等价于{(0,gcd(c,c′′))}\{(0,gcd(c,c''))\}{(0,gcd(c,c′′))}，也就是说{(a′′,b′′),(0,c′′),(0,c)}\{(a'',b''),(0,c''),(0,c)\}{(a′′,b′′),(0,c′′),(0,c)}等价于{(a′′,b′′),(0,gcd(c,c′′))}\{(a'',b''),(0,gcd(c,c''))\}{(a′′,b′′),(0,gcd(c,c′′))}，令c′′′=gcd(c,c′′)c'''=gcd(c,c'')c′′′=gcd(c,c′′)，因此我们有∀x1,y1,x2,y2,...,xn+1,yn+1∈Z,∃a′′,b′′,c′′′∈Z\forall x_1,y_1,x_2,y_2,...,x_{n+1},y_{n+1}\in Z,\exist a'',b'',c'''\in Z∀x1,y1,x2,y2,...,xn+1,yn+1∈Z,∃a′′,b′′,c′′′∈Z使得{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn+1,yn+1)}\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_{n+1},y_{n+1})\}{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn+1,yn+1)}等价于{(a′′,b′′),(0,c′′′)}\{(a'',b''),(0,c''')\}{(a′′,b′′),(0,c′′′)}。

换句话说，对于任何向量组而言，它们都一定等价于某两个向量的构成的向量组，且这两个向量的形式为(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)。

有了这个结论后，我们考虑维护一个两个基向量(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)，初始化a=b=c=0a=b=c=0a=b=c=0，每加入一个向量就考虑将这个新的向量与(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)(a,b),(0,c)进行合并，得到(a′,b′),(0,c′)(a',b'),(0,c')(a′,b′),(0,c′)。可以写个merge(A,B)merge(A,B)merge(A,B)函数用来合并AAA与BBB向量。

对于查询(x,y)(x,y)(x,y)而言，若aaa不为零，首先要满足a∣xa\mid xa∣x，然后若ccc不为零还要看是否满足c∣(y−xab)c\mid (y-\frac xab)c∣(y−axb)。对于为零的情况特判一下即可。

struct Node{ll x,y;
};
void merge(Node &a,Node &b){if(!a.x && !b.x){a.y=__gcd(a.y,b.y);b.x=b.y=0;}else if(!a.y && !b.y){a.x=__gcd(a.x,b.x);b.x=b.y=0;}while(b.x){ll t=a.x/b.x;a.x-=t*b.x,a.y-=t*b.y;swap(a,b);}b.y=abs(b.y);if(a.x<0)a.x*=-1,a.y*=-1;if(b.y)a.y=(a.y%b.y+b.y)%b.y;
}
bool check(Node a,Node b,Node c){if(a.x){if(c.x%a.x)return false;ll k=c.x/a.x;c.y-=a.y*k;}else if(c.x)return false;if(!b.y)return !c.y;return !(c.y%b.y);
}
int main(){int t=rd(),kase=0;while(t--){int q=rd();ll ans=0;Node a={0,0},b={0,0};while(q--){int op=rd(),x=rd(),y=rd(),w=0;if(op==1){Node c={x,y};merge(a,c);merge(b,c);merge(a,b);}else{w=rd();Node c={x,y};if(check(a,b,c))ans+=w;}}printf("Case #%d: %lld\n",++kase,ans);}
}

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