等可能概型(古典概型)

定义：若实验满足：

样本空间 S 种样本点有限（有限性）
出现每一个样本点的概率相等（等可能性）

称这种试验为等可能概型（或古典概型）

P(A)=A所包含的样本点数S中的样本点数P(A) = \frac{A所包含的样本点数}{S中的样本点数} P(A)=S中的样本点数A所包含的样本点数

例 1： 一袋中有5个球，其中3个为白球，2个为蓝球，设取到每一球的可能性相等.

（1）从袋中随机取一球,记A={ 取到白球 },求P(A)．

（2）从袋中不放回取两球,记B={两个都是白球},求
P(B)．

先说明下抽样方法：

不放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，不再放回，第 2 次从剩余的球中取出一球；

放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，放回，第 2 次依然从全部的球中取出一球．

解：将球编号，白球为 1，2，3，蓝球为 4，5.

（1） S={1,2,3,4,5},A={1,2,3}⟹P(A)=35S = \{1,2,3,4,5\}, A = \{1,2,3\}\implies P(A) = \frac{3}{5}S={1,2,3,4,5},A={1,2,3}⟹P(A)=53

（2） S={(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)},S = \{(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)\},S={(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)},

B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.B=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}.B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.

SSS 所包含的样本点数是 5x4
AAA 所包含的样本点数是 3x2

P(B)=3×25×4=C32C52=0.3P(B) = \frac{3\times 2}{5\times 4} = \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} = 0.3P(B)=5×43×2=C52C32=0.3

一般地，如果有 NNN 个球，其中 aaa 个白球， b=N−ab = N - ab=N−a 个蓝球采用不放回抽样取n个球(n≤Nn\leq Nn≤N)，记Ak={恰好取到k个白球}(k≤a)A_k=\{恰好取到k个白球\} (k\leq a)Ak={恰好取到k个白球}(k≤a)，则

P(Ak)=CakCbn−kCNn,其中CNn=(Nn)=N!n!(N−n)!P(A_k) = \frac{C_{a}^{k}C_{b}^{n-k}}{C_{N}^{n}},其中 C_{N}^{n} = \tbinom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!} P(Ak)=CNnCakCbn−k,其中CNn=(nN)=n!(N−n)!N!

P(A0)=Ca0CbnCNn,P(A1)=Ca1Cbn−1CNn,P(A2)=Ca2Cbn−2CNnP(A_0) = \frac{C_{a}^{0}C_{b}^{n}}{C_N^{n}},P(A_1) = \frac{C_{a}^{1}C_{b}^{n-1}}{C_N^{n}},P(A_2) = \frac{C_{a}^{2}C_{b}^{n-2}}{C_N^{n}} P(A0)=CNnCa0Cbn,P(A1)=CNnCa1Cbn−1,P(A2)=CNnCa2Cbn−2

P(至少取到2个白球)=1−P(A0)−P(A1)P(至少取到 2 个白球) = 1 - P(A_0) - P(A_1)P(至少取到2个白球)=1−P(A0)−P(A1)

P(至多取到2个白球)=P(A0)+P(A1)+P(A2)P(至多取到 2 个白球) = P(A_0) + P(A_1) + P(A_2)P(至多取到2个白球)=P(A0)+P(A1)+P(A2)

例 2： 足球场内23个人(双方队员 11 人加 1 名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大？

解：假设每个人的生日在一年 365 天是等可能的。所以 23 人的生日共有 36523365^{23}36523 种可能结果。

先考虑事件 A: “任何两人生日不同”，

要使 A 发生，共有 365×364×...×(365−22)365\times364\times...\times(365-22)365×364×...×(365−22) 种可能。

因此，P(A)=365×364×...×(365−22)36523≈0.493P(A) = \frac{365\times364\times...\times(365-22)}{365^{23}} \approx 0.493P(A)=36523365×364×...×(365−22)≈0.493

P(A‾)=1−P(A)=0.507>0.5P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.507 > 0.5P(A)=1−P(A)=0.507>0.5

例 3： (抽签问题)一袋中有 a 个白球， b 个蓝球，记 a+b=n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第 k 次摸到白球的概率。

记 Ak={第k次摸到白球},k=1,2,...,n.求P(Ak).A_k = \{第 k 次摸到白球\}, k = 1,2,...,n. 求 P(A_k).Ak={第k次摸到白球},k=1,2,...,n.求P(Ak).

解 1. 将 n 个球依次编号为 :1,2,…,n,其中前 a 号是白球。

视 1，2，…，n 的每一个排列为一样本点，则每一样本点等概率。

P(Ak)=a(a+b−1)!(a+b)!=aa+b与k无关P(A_k) = \frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!} = \frac{a}{a+b} 与 k 无关P(Ak)=(a+b)!a(a+b−1)!=a+ba与k无关

解 2. 将第 k 次摸到的球号作为一个样本点，由对称性，取到各球的概率相等。

S={1,2,...,a,a+1,...,n}S = \{1,2,...,a,a+1,...,n \}S={1,2,...,a,a+1,...,n}

Ak=1,2,...,aA_k = {1,2,...,a}Ak=1,2,...,a

⟹P(Ak)=an=aa+b\implies P(A_k)=\frac{a}{n}=\frac{a}{a+b}⟹P(Ak)=na=a+ba

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