Python语音基础操作--4.3共振峰估计

《语音信号处理试验教程》（梁瑞宇等）的代码主要是Matlab实现的，现在Python比较热门，所以把这个项目大部分内容写成了Python实现，大部分是手动写的。使用CSDN博客查看帮助文件：

Python语音基础操作–2.1语音录制，播放，读取
Python语音基础操作–2.2语音编辑
Python语音基础操作–2.3声强与响度
Python语音基础操作–2.4语音信号生成
Python语音基础操作–3.1语音分帧与加窗
Python语音基础操作–3.2短时时域分析
Python语音基础操作–3.3短时频域分析
Python语音基础操作–3.4倒谱分析与MFCC系数
Python语音基础操作–4.1语音端点检测
Python语音基础操作–4.2基音周期检测
Python语音基础操作–4.3共振峰估计
Python语音基础操作–5.1自适应滤波
Python语音基础操作–5.2谱减法
Python语音基础操作–5.4小波分解
Python语音基础操作–6.1PCM编码
Python语音基础操作–6.2LPC编码
Python语音基础操作–6.3ADPCM编码
Python语音基础操作–7.1帧合并
Python语音基础操作–7.2LPC的语音合成
Python语音基础操作–10.1基于动态时间规整(DTW)的孤立字语音识别试验
Python语音基础操作–10.2隐马尔科夫模型的孤立字识别
Python语音基础操作–11.1矢量量化(VQ)的说话人情感识别
Python语音基础操作–11.2基于GMM的说话人识别模型
Python语音基础操作–12.1基于KNN的情感识别
Python语音基础操作–12.2基于神经网络的情感识别
Python语音基础操作–12.3基于支持向量机SVM的语音情感识别
Python语音基础操作–12.4基于LDA，PCA的语音情感识别

代码可在Github上下载：busyyang/python_sound_open

声道可以被看成一根具有非均匀截面的声管，在发音时将起共鸣器的作用。当声门处准周期脉冲激励进入声道时会引起共振特性，产生一组共振频率，这一组共振频率称为共振峰频率或简称为共振峰。共振峰参数包括共振峰频率、频带宽度和幅值，共振峰信息包含在语音频谱的包络中。因此共振峰参数提取的关键是估计语音频谱包络，并认为谱包络中的最大值就是共振峰。利用语音频谱傅里叶变换相应的低频部分进行逆变换，就可以得到语音频谱的包络曲线。依据频谱包络线各峰值能量的大小确定出第1-4共振峰.

在经典的语音信号模型中，共振峰等效为声道传输函数的复数极点对。对平均长度约为17cm声道(男性) ，在3kHz范围内大致包含三个或四个共振峰，而在5 kHz范围内包含四个或五个共振峰。高于5kHz的语音信号，能量很小。浊音信号最主要的是前三个共振峰。因此一切共振峰估计都是直接或间接地对频谱包络进行考察，关键是估计语音频谱包络，并认为谱包络中的最大值就是共振峰。

共振峰估计预处理

在估计之前需要进行预加重，对信号进行高频提升，还原声门的信号。
s′(n)=s(n)−a⋅s(n−1)s'(n)=s(n)-a·s(n-1)s′(n)=s(n)−a⋅s(n−1)

预加重有两个作用：

增加一个零点：抵消声门脉冲引起的高端频谱幅度下跌，使信号频谱变得平坦且各共振峰幅度相接近;语音中只剩下声道部分的影响，所提取的特征更加符合原声道的模型。
会削减低频信息，使有些基频幅值变大时，通过预加重后降低基频对共振峰检测的干扰，有利于共振峰的检测;同时减少频谱的动态范围。

另外，共振峰检测一般是分析韵母部分，所以还需要进行端点检测。可以使用基音周期检测相同的端点检测方法。

倒谱法共振峰估计

倒谱法共振峰估计的算法过程为：

对语音信号x(i)x(i)x(i)进行预加重，并进行加窗，分帧，FFT处理
Xi(k)=∑n=1Nxi(n)e−2πknjNX_i(k)=\sum_{n=1}^Nx_i(n)e^{-\frac{2\pi kn j}{N}}Xi(k)=n=1∑Nxi(n)e−N2πknj
取Xi(k)X_i(k)Xi(k)的倒谱：
x^i(n)=1N∑k=1Nlg⁡∣Xi(k)∣e−2πknjN\hat x_i(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\lg|X_i(k)|e^{-\frac{2\pi kn j}{N}}x^i(n)=N1k=1∑Nlg∣Xi(k)∣e−N2πknj
给倒谱信号加窗得：hi(n)=x^i(n)×h(n)h_i(n)=\hat x_i(n)\times h(n)hi(n)=x^i(n)×h(n),这里的窗函数和倒谱的分辨率有关（和采样率和FFT长度有关）：
h(n)={1n⩽n0−1&n⩾N−n0+10n0−1<n<N−n0+1,n∈[0,N−1]h(n)=\left \{\begin{array}{lc} 1&n\leqslant n_0-1 \&n\geqslant N-n_0+1\\ 0& n_0-1<n<N-n_0+1 \end{array}\right.,n\in[0,N-1]h(n)={10n⩽n0−1&n⩾N−n0+1n0−1<n<N−n0+1,n∈[0,N−1]
求hi(n)h_i(n)hi(n)的包络线：Hi(k)=∑n=1Nhi(n)e−2πknjNH_i(k)=\sum\limits_{n=1}^{N}h_i(n)e^{-\frac{2\pi kn j}{N}}Hi(k)=n=1∑Nhi(n)e−N2πknj
在包络线张寻找极大值，获得相应共振峰参数。

LPC法共振峰估计

简化的语音产生模型是将辐射、声道以及声门激励的全部效应简化为一个时变的数字滤波器来等效，其传递函数为
H(z)=S(z)U(z)=G1−∑i=1paizi−1H(z)=\frac{S(z)}{U(z)}=\frac{G}{1-\sum\limits_{i=1}^pa_iz_i^{-1}}H(z)=U(z)S(z)=1−i=1∑paizi−1G

令z−1=exp⁡(−j2πf/fs)z^{-1}=\exp(-j2\pi f/f_s)z−1=exp(−j2πf/fs)，则功率谱P(f)P(f)P(f)为：
P(f)=∣H(f)∣2=G2∣1−∑i=1paiexp⁡(−j2πif/fs)∣2P(f)=|H(f)|^2=\frac{G^2}{|1-\sum\limits_{i=1}^pa_i\exp(-j2\pi if/f_s)|^2}P(f)=∣H(f)∣2=∣1−i=1∑paiexp(−j2πif/fs)∣2G2

利用FFT方法可对任意频率求得其功率谱幅值响应，并从幅值响应中找到共振峰，相应的求解方法有两种:抛物线内插法和线性预测系数求复数根法。

抛物线内插法

在任意共振峰频率FiF_iFi的局部峰值频率mΔfm\Delta fmΔf(Δf\Delta fΔf为谱图的频率间隔)，以及邻近的两个频率点(m−1)Δf(m-1)\Delta f(m−1)Δf,(m+1)Δf(m+1)\Delta f(m+1)Δf，以及他们的幅值分别为H(m−1),H(m),H(m+1)H(m-1),H(m),H(m+1)H(m−1),H(m),H(m+1),可以用二次方程aλ2+bλ+ca\lambda^2+b\lambda+caλ2+bλ+c来计算，求出更精确的中心频率FiF_iFi和带宽BiB_iBi。
为了方便计算，令mΔfm\Delta fmΔf处为零，对应于Δf,0,+Δf\Delta f,0,+\Delta fΔf,0,+Δf处的功率谱分别为H(m−1),H(m),H(m+1)H(m-1),H(m),H(m+1)H(m−1),H(m),H(m+1),由H=aλ2+bλ+cH=a\lambda^2+b\lambda+cH=aλ2+bλ+c有：
{H(m−1)=aΔ2−bΔ+cH(m)=cH(m+1)=aΔ2+bΔ+c\left \{\begin{array}{ll} H(m-1)=a\Delta^2-b\Delta+c\\ H(m)=c\\ H(m+1)=a\Delta^2+b\Delta+c \end{array}\right.⎩⎨⎧H(m−1)=aΔ2−bΔ+cH(m)=cH(m+1)=aΔ2+bΔ+c

假设Δf=1\Delta f=1Δf=1,则计算系数为：
{a=H(m−1)+H(m+1)2−H(m)b=H(m−1)+H(m+1)2c=H(m)\left \{\begin{array}{ll} a=\frac{H(m-1)+H(m+1)}{2}-H(m)\\ b=\frac{H(m-1)+H(m+1)}{2}\\ c=H(m) \end{array}\right.⎩⎨⎧a=2H(m−1)+H(m+1)−H(m)b=2H(m−1)+H(m+1)c=H(m)

极大值处中心频率为:λmax=−b/2a\lambda_{max}=-b/2aλmax=−b/2a,实际共振峰中心频率为：Fi=λmaxΔf+mΔfF_i=\lambda_{max}\Delta f+m\Delta fFi=λmaxΔf+mΔf，中心频率对应的功率谱HpH_pHp为：
Hp=aλp2+bλp+c=−b24a+cH_p=a\lambda_p^2+b\lambda_p+c=-\frac{b^2}{4a}+cHp=aλp2+bλp+c=−4ab2+c

求带宽，就是在某个λ\lambdaλ处，使得谱值为最大值的一半：
aλ2+bλ+cHp=12\frac{a\lambda^2+b\lambda+c}{H_p}=\frac{1}{2}Hpaλ2+bλ+c=21

解这个二次方程可以得到：
λroot=−b±b2−4a(c−0.5Hp)2a\lambda _{root}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4a(c-0.5H_p)}}{2a}λroot=2a−b±b2−4a(c−0.5Hp)

实际带宽可以写成：
Bi=2λbΔfB_i=2\lambda_b\Delta fBi=2λbΔf

其中λb=−b2−4a(c−0.5Hp)2a\lambda_b=-\frac{b^2-4a(c-0.5H_p)}{2a}λb=−2ab2−4a(c−0.5Hp)。

线性预测系数求根法

预测误差滤波器表示为：
A(z)=1−∑i=1paiz−iA(z)=1-\sum_{i=1}^pa_iz^{-i}A(z)=1−i=1∑paiz−i

其多项式复根可以精确表示共振峰的中心频率与带宽。设zi=riejθiz_i=r_ie^{j\theta_i}zi=riejθi为任意复根，其共轭值zi∗=rie−jθiz^*_i=r_ie^{-j\theta_i}zi∗=rie−jθi也是根，设ziz_izi对应的共振峰频率为FiF_iFi，3dB带宽为BiB_iBi，那么有：
{2πFi/fs=θie−Biπ/fs−ri\left \{\begin{array}{ll} 2\pi F_i/f_s=\theta_i\\e^{-B_i\pi/f_s}-r_i \end{array} \right.{2πFi/fs=θie−Biπ/fs−ri

所以：
{Fi=θifs/2πBi=−ln⁡ri⋅fs/π\left \{\begin{array}{ll} F_i=\theta_if_s/2\pi\\B_i=-\ln r_i·f_s/\pi \end{array} \right.{Fi=θifs/2πBi=−lnri⋅fs/π

因为预测误差滤波器阶数p是预先设定的，所以复共辄对的数量最多是p/2。因为不属于共振峰的额外极点的带宽远大于共振峰带宽，所以比较容易剔除非共振峰极点。

# 共振峰估计函数
import numpy as np
from chapter3_分析实验.timefeature import *
from chapter3_分析实验.lpc import lpc_coeffdef local_maxium(x):"""求序列的极大值:param x::return:"""d = np.diff(x)l_d = len(d)maxium = []loc = []for i in range(l_d - 1):if d[i] > 0 and d[i + 1] <= 0:maxium.append(x[i + 1])loc.append(i + 1)return maxium, locdef Formant_Cepst(u, cepstL):"""倒谱法共振峰估计函数:param u::param cepstL::return:"""wlen2 = len(u) // 2U = np.log(np.abs(np.fft.fft(u)[:wlen2]))Cepst = np.fft.ifft(U)cepst = np.zeros(wlen2, dtype=np.complex)cepst[:cepstL] = Cepst[:cepstL]cepst[-cepstL + 1:] = Cepst[-cepstL + 1:]spec = np.real(np.fft.fft(cepst))val, loc = local_maxium(spec)return val, loc, specdef Formant_Interpolation(u, p, fs):"""插值法估计共振峰函数:param u::param p::param fs::return:"""ar, _ = lpc_coeff(u, p)U = np.power(np.abs(np.fft.rfft(ar, 2 * 255)), -2)df = fs / 512val, loc = local_maxium(U)ll = len(loc)pp = np.zeros(ll)F = np.zeros(ll)Bw = np.zeros(ll)for k in range(ll):m = loc[k]m1, m2 = m - 1, m + 1p = val[k]p1, p2 = U[m1], U[m2]aa = (p1 + p2) / 2 - pbb = (p2 - p1) / 2cc = pdm = -bb / 2 / aapp[k] = -bb * bb / 4 / aa + ccm_new = m + dmbf = -np.sqrt(bb * bb - 4 * aa * (cc - pp[k] / 2)) / aaF[k] = (m_new - 1) * dfBw[k] = bf * dfreturn F, Bw, pp, U, locdef Formant_Root(u, p, fs, n_frmnt):"""LPC求根法的共振峰估计函数:param u::param p::param fs::param n_frmnt::return:"""ar, _ = lpc_coeff(u, p)U = np.power(np.abs(np.fft.rfft(ar, 2 * 255)), -2)const = fs / (2 * np.pi)rts = np.roots(ar)yf = []Bw = []for i in range(len(ar) - 1):re = np.real(rts[i])im = np.imag(rts[i])fromn = const * np.arctan2(im, re)bw = -2 * const * np.log(np.abs(rts[i]))if fromn > 150 and bw < 700 and fromn < fs / 2:yf.append(fromn)Bw.append(bw)return yf[:min(len(yf), n_frmnt)], Bw[:min(len(Bw), n_frmnt)], U

from chapter2_基础.soundBase import *
from chapter4_特征提取.共振峰估计 import *
from scipy.signal import lfilterplt.figure(figsize=(14, 12))data, fs = soundBase('C4_3_y.wav').audioread()
# 预处理-预加重
u = lfilter([1, -0.99], [1], data)cepstL = 6
wlen = len(u)
wlen2 = wlen // 2
# 预处理-加窗
u2 = np.multiply(u, np.hamming(wlen))
# 预处理-FFT,取对数
U_abs = np.log(np.abs(np.fft.fft(u2))[:wlen2])
# 4.3.1
freq = [i * fs / wlen for i in range(wlen2)]
val, loc, spec = Formant_Cepst(u, cepstL)
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(freq, U_abs, 'k')
plt.title('频谱')
plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(freq, spec, 'k')
plt.title('倒谱法共振峰估计')
for i in range(len(loc)):plt.subplot(4, 1, 2)plt.plot([freq[loc[i]], freq[loc[i]]], [np.min(spec), spec[loc[i]]], '-.k')plt.text(freq[loc[i]], spec[loc[i]], 'Freq={}'.format(int(freq[loc[i]])))
# 4.3.2
p = 12
freq = [i * fs / 512 for i in range(256)]
F, Bw, pp, U, loc = Formant_Interpolation(u, p, fs)plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(freq, U)
plt.title('LPC内插法的共振峰估计')for i in range(len(Bw)):plt.subplot(4, 1, 3)plt.plot([freq[loc[i]], freq[loc[i]]], [np.min(U), U[loc[i]]], '-.k')plt.text(freq[loc[i]], U[loc[i]], 'Freq={:.0f}\nHp={:.2f}\nBw={:.2f}'.format(F[i], pp[i], Bw[i]))# 4.3.3p = 12
freq = [i * fs / 512 for i in range(256)]n_frmnt = 4
F, Bw, U = Formant_Root(u, p, fs, n_frmnt)plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(freq, U)
plt.title('LPC求根法的共振峰估计')for i in range(len(Bw)):plt.subplot(4, 1, 4)plt.plot([freq[loc[i]], freq[loc[i]]], [np.min(U), U[loc[i]]], '-.k')plt.text(freq[loc[i]], U[loc[i]], 'Freq={:.0f}\nBw={:.2f}'.format(F[i], Bw[i]))plt.savefig('images/共振峰估计.png')
plt.close()