P2473 奖励关状压概率DP求期望

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P2473

题意

n轮，m种球，每轮随即一个球，可以接可以不接，接的话需要满足这个球的前置条件(比如3号球接球必须已经接过1,4号这种)，然后获得一定分数(可负)。问最佳策略下期望得分

思路

练了这点DP总算有点眉目了。

求期望，并且发现我们前面的操作是有后效性的（我们需要作出吃负分，更新状态的不贪心操作），我们考虑倒推

显然我们需要记录当前状态以判断是否能接某个球，考虑状态压缩，某位置为1代表接到过这种球，对于只需要考虑是否接过球的本题足够了。

定义DP[i][j]为i轮开始时，j状态下还可以获得的分值期望，那么初始状态就是DP[n+1][]为0，第n轮结束后不可以再获得了。答案就是DP[1][0]，初始轮次没接过球还能获得的分数期望就是总的分数期望

倒退考虑转移，DP[i][j]显然都是从DP[i+1]推来的，我们枚举m种抛球情况，每种等概率

对于无法接到的情况，显然期望不变，状态也不变。直接加上DP[i+1][j]/m
对于能接到的情况，我们对DP[i+1][j]和DP[i+1][w]+value（w为接球后状态）取一个max再除m加上即可

至于判断能否接到，我们对于每种球处理一个接到的状态（3号球接1,4，那就是1001），如果可接状态和当前状态求按位与结果和可接一致，那么就是可以接到。

至于上文说的转移的新状态w，就在当前状态对应接球位按位或一个1即可。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<chrono>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl "\n"
//#define int long long
//#define double long double
using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=40005;const int maxm=105;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m,k;double dp[maxm][maxn];int wuhu[maxm];int v[maxm];bool check(int a,int b){if((a&wuhu[b])==wuhu[b])    return 1;return 0;}signed main(){IOS#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("IO\\in.txt","r",stdin);freopen("IO\\out.txt","w",stdout);#endifint tn=1;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>v[i];int t;while(cin>>t&&t){wuhu[i]=(wuhu[i]|(1<<(t-1)));}}for(int i=n;i;i--){for(int j=0;j<(1<<m);j++){for(int w=1;w<=m;w++){//可以转移，期望+v//不能转移，直接期望if(check(j,w))dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<(w-1))]+v[w]);else    dp[i][j]+=dp[i+1][j];}dp[i][j]/=m;}}cout<<fixed<<setprecision(6)<<dp[1][0]<<endl;}