漫谈高数(二) 方程和矩阵的物理含义

漫谈高等数学入门第二课方程，空间和矩阵的关系-----------［转载请标明本文CU blog出处]
[一. 矩阵和空间的思想]
    我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分方程组的求解，离不开它。
        方程组，有什么物理/几何的意义吗?
(a) 先从"空间"和函数说起。有两个方程式组成一个方程组，Ax+By=C, Dx+Ey=F，有什么样的解? 我们可以把这两个方程写为函数集合的形式：    f(x,y)=Ax+By-C,g(x,y)=Dx+Ey-F，画一个x,y轴的平面，那么f(x,y)=g(x,y)对应一个交点，它的(x,y)坐标就是方程组的解。三元一次方程组的情况类似，把三个方程写为三个函数形式，每个函数代表3维空间里面的一个面，求3元方程组的解，就等价于看这3个面有什么样的交点。
(b) 什么是数组? 一对数写在一起用括号括起来。什么是矩阵? 一堆数写成行列的形式用括号括起来----它是用来表示概念的工具，你说它是什么它就是什么，就这么简单。那么上面的2元1次方程组，3元一次方程组，求解过程，都可以看成是矩阵(这里是方阵)*未知数向量＝得数向量的形式：
(c) [A]|x|=|b|。矩阵的乘法的形式是为了对应方程求解的形式，被定义出来的，是"人造"的，不是从什么客观实在得来的----矩阵是我们的认识工具，只是一个抽象存在，是一种形而上学的东西。
        考虑一种特殊的情况，|b|=|0|全是0的情况。难么方程对应的函数集合，在2维平面上面就是通过原点的一系列直线，它们总是交于0点。在3维平面上，就是通过原点的几个平面，它们总是交与原点。所以Ax=0这样的方程组总是有解的，解可能是1个也可能是无穷多个，怎么理解无穷个解? 2维平面的那两条直线重合，解无穷多；3维平面的3个面交于一条直线，例如平面x=0,y=0,x=y，他们交于Z轴，解也是无穷多个。那么Ax=B这样的形式，有解吗? 同样的分析，在平面上，两条不都经过原点的直线，如果交与一点就是一个解，平行就是无解，重合就是无穷解。3维的情况，交于一点1个解，交于一条直线或3 个面重合对应无穷解，两两相交但是没有3个面的相交或者其中两个面平行----则无解。好了，研究了方程组，对应的空间意义，那么用矩阵来求解吧。等等，为什么可以用矩阵来求解? 克莱姆法则证明了，求方程解的过程，等价于求一些列矩阵的行列式相除的过程，所以这些行列式运算的结果，就是方程组的解。好了，矩阵，行列式，这种抽象的东西，既然能用来求方程组的解，那么还能用于别的情况吗? 曲别针还有1万种用法呢，矩阵的用法当然多了去了。当然，对于高维的方程组，我们无法画出图形来看是否有解，那么既然解的存在与否，等价于研究矩阵的行列式的一些性质，那么我们就研究矩阵的行列式，以及矩阵的其他性质。
        艾舍尔有一幅画，4个楼梯都是往上走的，但是第4个楼梯的终点和第1个楼梯的起点相连。看不出逻辑上面有什么错误，但是逻辑的组合肯定是错误的。怎么证明呢？由于楼梯是环绕的，所以起点终点之间肯定有一点导数=0，导数不能是单调的。但是由于楼梯是单调上升的，所以没有哪个点的高度值等于起点。所以楼梯不可能单调上升，画出来的图案只是一个意识错觉罢了。用自然语言无法解释的悖论，用符号化的数学确能轻易的解决。欧拉，在证明"自然数集存在无穷个质数"这个问题的时候，遇到一个棘手的问题，因为无论如何证明，都只能列出有限多个数字来。那么如何用有限的证明，证明无限的情况呢？符号系统和递归的思想由此产生。设任意一个N是质数，那么欧拉证明了N!之内一定还存在一个质数。由于N不是特定的数字，所以可以不但可以代表无限种情况，而且可以用递归的关系得出这样的数字有无数种。
        符号系统还有什么作用？在线性代数和微分方程里面的算子理论就是符号系统的一种形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我们可以推出对于矩阵方程组Ax=B有确定解，,那么这个解集是x=(A^-1)*b。这里-1表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是绝对值而是行列式。A此时称为可逆矩阵----这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？
        可逆有什么性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个满秩的矩阵，那么做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性质类似于开根号。两个性质， (1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求证A和A+B可逆。证明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|= (-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N阶可逆矩阵呢？A*T(A)=I的矩阵就是了。推广的说，把分块矩阵的元素可以看作普通的矩阵元素，那么线性变换的结果相似，只是4则运算的单位从"1"变成了单位矩阵"I"。我们从一元方程得到类似的一元矩阵符号运算的性质。
        为什么计算行列式的时候，可以行和列之间做线性变换并且保持行列式不变？考虑|A-B|，其中，B的第一个行向量等于A的第2个行向量，其他行向量都是 0，那么|A-B|=|[a1-a2,a2,...,an]|，再根据代数余子式的性质我们有|A-B|=|A|-|[a2,a2,...,an]|第2 个行列式由于存在线性相关，所以是0，所以|A-B|=|A|。证毕。证明的过程有通用性吗？如果不是A.a2=B.a1，我们写成通用形式 A.ai=B.aj,i!=j，那么结果相同。由于i和j不要求是特定值，对所有情况都适用，因此任意的线性组合，包括任意多次的线性变换，都一定符合：递归是不需要证明的，因为递归包括了对自己的证明。从求解行列式的过程可以看出，对于可逆的A总可以通过行和列的线性变换变成I，那么线性变换就是矩阵，那么说明总是存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=I。线性变化PA表示对A的行变换，AQ表示对A的列变换。这里没有严格的数学证明，所有的证明都是基于概念和符号的。这就是符号系统的威力所在。那么，怎么求迹矩阵？我们从[A|E]求出[E|X]，由于矩阵就是线性变换，那么A->E相当于A乘以了 A^-1,那么X=E*A^-1=A^-1。那么伴随矩阵呢？这个是和逆矩阵相关的概念，只是不同的求逆矩阵的途径。伴随矩阵的每个列向量a*i和原来矩阵的第i个行向量相乘，和等于1，和其他的行向量相乘和=0，那么显然可以用代数余子式的正交性质来得到。证明略。

[二. 矩阵运算的物理含义]
如果把矩阵看成一个2维坐标系离散值的几何，那么
1. 矩阵加法A+B就是A的各个点作平移，平移的度量是B当中对应的点。
2. 矩阵乘法A*B就是一种线性映射：如果A是x/y坐标系，B是y/z坐标系，那么结果就是x->z的映射。举个例子，有3个国家，A国有三个城市，B国有三个城市，C国有两个城市。他们之间的道路状况如下用矩阵表示
->B1,B2,B3
A1 1, 1, 0
A2 1, 0, 1
A3 1, 1, 0

->C1,C2
B1 1, 0
B2 1, 1
B3 0, 1
那么从A国的每个城市出发经过B到达C的每个城市，各自有多少条线路? 答案就是A*B=[(2,1),(1,1),(2,1)]
3. 我们深入的讨论一下"映射"的概念。举实数为例，y=ax是一个乘法映射，每一个x对应一个y。那么如果知道y求x呢? x=a^(-1)*y。这里影射函数f(x)=ax和反函数g(x)=a^(-1)x互逆。那么我们推广到N维坐标系空间里面就看到，矩阵就是一个N*N 的坐标系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范数!=0。我们构造的得到的A的1范数就是它的行列式。那么到底什么是映射? 莱布尼茨说映射就是一组2元关系。在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z，在多维的时候表现为矩阵的形式。1维的多次映射表现为函数的嵌套(g o f)，多维的情形可以写成矩阵的乘法。当然，限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合。当然，方阵才有逆----方阵是维数不变的N->N的一一映射，所以可能有且只有一个反映射，或者没有反映射。N->M的不同维数映射无法得到反映射。
4. 形式化的定义。我们如果把矩阵看成一个"算子"的话，矩阵的乘法就能看成一个状态机的推演，推算的过程就是一次算子入栈，反推的过程就是算子出栈。那么显然就能够理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)* = (B*)*(A*)。我们从伴随矩阵的性质AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩阵左乘是行变换，右乘是列变换。把矩阵看成算子，同时可以把子矩阵看成算子，分块矩阵的相成和行列式求解也就很简单了。可以把小的矩阵当成一个数来看待。三角阵通过初等变换可以变成分块阵。
5. 初等矩阵有3种，对应3种最基本的矩阵变换，也就是行列互换，行列数乘，一行/列数乘以后加到另一个行/列上面。初等矩阵都可逆。线性变换的结果是"相抵"的。一个矩阵总是能等于一个初等变换矩阵，并且逆矩阵的属性不变。对于可逆矩阵A，总有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E。或者说存在可逆矩阵P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。
6. 于是有了线性空间的概念：线性空间V就是一个集合，它同时满足V上的元素加法和对于数域K上面的乘法满足8条线性运算的规则。
7. 为什么要讨论相似? 这里面包含了一种不变性，是研究变换的数学工具。实数变换可以拆分成复数变换，例如酉矩阵，在晶体学里，酉变换叫做幺正变换，也就是将空间（可以是任意维的）中一组基矢做一个旋转操作，不改变矢量的大小和内积。而在量子力学里面，这个用处就更大了，本质上就是量子力学所说的表象变换。是连接两个表象的桥梁。
矩阵代表了一种二元关系。函数映射是一种1维的二元关系，那么矩阵就是一种N维的二元关系。矩阵的方法就是一种映射的运算，之所以成为线形运算，是因为每一个投影都是具有拉伸和整体旋转的几何意义，相当于向量通过平面镜映射到一个投影平面上面的结果。这里只有平面镜和投影平面，没有哈哈镜和投影曲面。如果我们把2元的对应关系写成复数形式z=x+yi，那么f(z)就是一种投影的关系，只不过f(z)是直线方程的时候对应于一个等效的矩阵，f(z)如果不是直线方程，那么就是一种非线性变换。线形变换有许多很好的性质，能够保持信息的数量和结构保持某种程度的不变性，同时使得结果方便理解和处理。
映射还有一个性质，就是保角性。假设我们要研究x/y平面上面的x^2-y^2=c和xy=d这两个双曲线之间的夹角，怎么办? 我们可以用微元的办法(微分几何)来求出。但是这样当然很麻烦，而且是一题一解(牛顿喜欢这样做，但是莱布尼茨反对这种解决方案)，不太符合公理系统和形式化推理的思想。考虑z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z^2

费波纳契数列的求解
遇到过这样的问题:
        一个数列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通项公式。用中学时代的眼光我们可以观察到，如果an当n-& amp; gt;无穷的时候，是个等比数列，显然符合递推公式。那么我们就可以假设an=入a(n-1)，那么由递推公式我们就可以得到:入^2*a(n-1)= 入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根号5)/2(应为这个比值要>1)，那么an=入^n*a0。当然这个只是一个近似公式，结果不准确而且推导的过程不严格。那么我们用大学的线形代数来求解。我们考虑修正方案构造一个等比数列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n- 2)，化简得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根号5+-1)/2，剩下的可以参看一组 Wiki(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91 %E6%95%B0%E5%88%97)。
        线形代数有什么好处? 就是求解的过程本身可以一直保持变量的形式，可以最后一步才代入实际参数。我们写出一个矩阵形式的递推公式：
[a(n+1)]=[1,1][a(_n_)]=[1,1][1,1][a(n-1)]=...=[1,1]^n[a(0)]
[a(_n_)]=[1,0][a(n-1)]=[1,0][1,0][a(n-2)]=...=[1,0]乘[a(-1)]->
        也就是我们假设A={[1,1],[1,0]}那么就有[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]。于是我们可以通过求解A^n来得到通项公式。求出A的特征值|A-入E|=0->
|1-入,1|
|1,0-入|
=
入^2-入-1=0，两个特征值分别是:入1=(1+根号5)/2，入2=(1-根号5)/2。入1对应的特征向量: |A-入E|x=0->
|1-入1,1|
|1,0-入1|
=
|入2,_1|
|0,-入1|所以对应的特征向量是(1,-入2)。而入2对应的特征向量同样的求法得到(1,-入1)。所以可逆矩阵P=
[___1,___1]
[-入2,-入1]，|P|=(-入1+入2)|=-根号5。它的逆矩阵P(-1)=
[入1,1]
[-入2,-1]，除以根号5。所以A=P(-1)*B*P,B是A的特征值构成的对角矩阵。所以
[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]=P(-1)*B^n*P*[a0,a1]->当a0=a-1=1时an=(入1^(n+1)-入2^(n+1))/根号5

[三. 具体的性质和计算]
1. 对于克莱姆法则求解的过程，我们看到Ax=0的情况，对应于每个解分量的克莱姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩阵中有一个全为0的列向量，那么求行列式的过程(全乘)结果肯定为0，所以方程组至少有个解向量就是[0,0,0,....]。这验证了我们前面说的，空间直线/面相交于原点的情况。

2. 对于行列式除法，如果有分母等于0的情况，Ax=b就“可能“对应于无穷个解。当然，解之间符合一定的数学约束关系(例如3维空间中的某个直线方程)。举个例子，x=1,y=1,x-y=0这3个平面交汇于直线(x=1,y=1)，那么分母行列式些出来就是
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,0|
第三个行向量是冗余的，它的行列式＝0。为什么说可能无穷个解(去穷个z)，因为b不同，可能还会导致无解。那么，我怎么知道有解还是无解呢? 那就要求出所有克莱姆除法式的分子，如果有分子分母同为0的情况，就是无解，例如x=1,y=1,x-y=1这3个平面两两相交，但是就是没有公共的部分，克莱姆解法求z分量的过程，克莱姆分子就是下面这个矩阵的行列式
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,1|
显然行列式=0。

克莱姆法则提供一个同用的解方程的方法：我们不再需要通过观察数字拼凑的方式来消元了。当然，直接用克莱姆法则还是太复杂了。首先，随着维数的升高，计算复杂度指数增加O(N!)，然后只有求出了所有的克莱姆分子行列式才能判断是否有解，冗余度很高。所以我们需要进一步广义地研究矩阵的特性，矩阵的秩，特征矩阵/向量/值，等等。我们需要从Ax=0推理到Ax=b。

3. 例子: 如果有电路如下，一共5个电阻，方括号中的是电阻值:
|-[1]-----[2]----|
|     |          |
|    [1]         |
|     |          |
|-[2]-----[1]----|
那么如果电路左端是1V电压，电路右端接地，那么流经每个电阻的电流是多少?
    我们可以假设流经每个电阻的电流是x1,x2,x3,x4,x5(从上到下从左到右分别是x1,x2,x5,x3,x4),电压有4个方程，电流分配有2个方程，显然有一个方程是冗余的，没关系，联立求解就可以了。
x1,x2,x3,x4
x1+2x2=1
2x3+x4=1
x1+x4+x5=1
2x2+2x3-x5=1
x1-x2-x5=0
x3-x4+x5=0

1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1
1 0 0 1 1    1
0 2 2 0 -1   1
1 -1 0 0 -1   0
0 0 1-1 1   0
->
1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1
0 -2 0 1 1    0 :
0 2 2 0 -1   1 ->
0 -3 0 0 -1   0 :
0 0 1-1 1   0
->

1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1
0 0 2 1 0    1 :
0 2 2 0 -1   1
0 -3 0 0 -1   0 :
0 0 1-1 1   0
->
少一行
1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1 :
0 2 2 0 -1   1
0 -3 0 0 -1   0 ->
0 0 1-1 -1   0

1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1 :
0 2 2 0 -1   1
0 0 3 0 0.5 1.5
0 0 1-1 -1   0

1 2 0 0 0    1
0 0 2 1 0    1 :
0 2 2 0 -1   1
0 0 1-1 -1   0
0 0 6 0 1    3

->
1 2 0 0 0    1
0 2 2 0 -1   1
0 0 2 1 0    1 :
0 0 1-1 -1   0   ->
0 0 0 6 7    3 :

->
1 2 0 0 0    1
0 2 2 0 -1   1
0 0 2 1 0    1 :
0 0 2-2 -2   0   ->
0 0 0 6 7    3 :

->
1 2 0 0 0    1
0 2 2 0 -1   1
0 0 2 1 0    1 :
0 0 0-3 -2 -1   ->
0 0 0 6 7    3 :

->
1 2 0 0 0    1
0 2 2 0 -1   1
0 0 2 1 0    1 :
0 0 0-3 -2 -1   ->
0 0 0 0 3    1 :

x5=1/3
->x4=1/9
->x3=4/9
->x2=2/9
->x1=5/9
验证一下，电压，电流的结果都是正确的。

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