数学：乘法逆元-拓展GCD

乘法逆元应用在组合数学取模问题中，这里给出的实现不见得好用

给出拓展GCD算法：

扩展欧几里得算法是指对于两个数a,b
一定能找到x,y（均为整数，但不满足一定是正数）
满足x*a+y*b=gcd(a,b)
gcd（x,y)是指x 与 y的最大公约数

有啥用呢？求解形如 a*x +b*y = c 的通解

然后我们先介绍同余方程，再介绍乘法逆元

同余方程
a≡b(mod m) 等价于小学的运算式 b÷m 余数为a
也就是a mod m=b

其实介绍这个就是看怎么把≡拿掉

乘法逆元
ax ≡ 1 (mod m)
我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

当满足这个式子的时候：a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解

我们求解出来了一个特殊的解 x0 ，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 inline long long read()
 4 {
 5     long long x=0,f=1;char ch=getchar();
 6     while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 7     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
 8     return x*f;
 9 }
10 int a,b;
11 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
12 {
13     if(b==0) {x=1;y=0;return;}
14     exgcd(b,a%b,x,y);
15     int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
16 }
17 //ax ≡ 1 (mod b)
18 //-> a*x + b*y = 1
19 //->求出x和y后让x%b就是最小解了
20 int main()
21 {
22     a=read();b=read();
23     int x,y;
24     exgcd(a,b,x,y);
25     x=(x%b+b)%b;
26     printf("%d",x);
27     return 0;
28 }

转载于:https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9480161.html

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