【洛古 P1314】[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 n n n 个矿石，从 1 1 1 到 n n n 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 w i w_i wi 以及价值 v i v_i vi 。检验矿产的流程是：

1 、给定$ m$ 个区间 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri]；

2 、选出一个参数 W W W；

3 、对于一个区间 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri]，计算矿石在这个区间上的检验值 y i y_i yi：

y i = ∑ j = l i r i [ w j ≥ W ] × ∑ j = l i r i [ w j ≥ W ] v j y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j yi=j=li∑ri[wj≥W]×j=li∑ri[wj≥W]vj

其中 j j j 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 y y y 为各个区间的检验值之和。即： ∑ i = 1 m y i \sum\limits_{i=1}^m y_i i=1∑myi

若这批矿产的检验结果与所给标准值 s s s 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 W W W 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 s s s，即使得 ∣ s − y ∣ |s-y| ∣s−y∣ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 n , m , s n,m,s n,m,s，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 n n n 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 i + 1 i+1 i+1 行表示 i i i 号矿石的重量 w i w_i wi 和价值 v i v_i vi。

接下来的 m m m 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 i + n + 1 i+n+1 i+n+1 行表示区间 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri] 的两个端点 l i l_i li 和 r i r_i ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【输入输出样例说明】

当 W W W 选 4 4 4 的时候，三个区间上检验值分别为 20 , 5 , 0 20,5 ,0 20,5,0 ，这批矿产的检验结果为 25 25 25，此时与标准值 S S S 相差最小为 10 10 10。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 10 1 ≤n ,m≤10 1≤n,m≤10；

对于 $30% $的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 500 1 ≤n ,m≤500 1≤n,m≤500 ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 70 % 70\% 70% 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 10 , 000 1 ≤n ,m≤10,000 1≤n,m≤10,000 ；

对于 100 % 100\% 100% 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$， 0 < w i , v i ≤ 1 0 6 0 < w_i,v_i≤10^6 0<wi,vi≤106， 0 < s ≤ 1 0 12 0 < s≤10^{12} 0<s≤1012， 1 ≤ l i ≤ r i ≤ n 1 ≤l_i ≤r_i ≤n 1≤li≤ri≤n 。

解题思路

考虑二分参数 W W W：

可以看到：在W取0时，所有的区间内的矿石都可以选上，而在W大于最大的质量时，所有的矿石都选不上。

W越大，矿石选的越少，W越小，矿石选的越多。

当 Y > s Y>s Y>s时，需要增大W来减小Y,从而 ∣ Y − s ∣ ∣Y−s∣ ∣Y−s∣变小；
当 Y = = s Y==s Y==s时， ∣ Y − s ∣ = 0 |Y-s|=0 ∣Y−s∣=0
当 Y < s Y<s Y<s时，需要减小W来增大Y，从而 ∣ Y − s ∣ ∣Y−s∣ ∣Y−s∣变大；

在 c h e c k check check中计算 Y Y Y的时候，不用嵌套循环枚举1 ~ n，1 ~ m来判断每个点在不在所给区间内，先做一个前缀和的预处理，然后算的时候用右端点 r r r-（左端点 l − 1 l-1 l−1）就可以了

for(int i=1;i<=n;i++){c[i]=c[i-1];d[i]=d[i-1];//记得要赋值if(a[i].w>=w){c[i]++;//个数d[i]=d[i]+a[i].v;//价值}}for(int i=1;i<=m;i++){maxn=maxn+(c[r[i]]-c[l[i]-1])*(d[r[i]]-d[l[i]-1]);}

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;int n,m,cnt;
ll minn,S,c[2000010],d[2000010];
int l[2000010],r[2000010];struct c{ll id,w,v;
}a[2000010];
ll check(ll w){memset(c,0,sizeof(c));memset(d,0,sizeof(d));ll maxn=0;for(int i=1;i<=n;i++){//   if(a[i].w<w)break;c[i]=c[i-1];d[i]=d[i-1];if(a[i].w>=w){c[i]++;d[i]=d[i]+a[i].v;}}for(int i=1;i<=m;i++){maxn=maxn+(c[r[i]]-c[l[i]-1])*(d[r[i]]-d[l[i]-1]);}return maxn;
}int main(){freopen("qc.in","r",stdin);freopen("qc.out","w",stdout);scanf("%d%d%lld",&n,&m,&S);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i].w,&a[i].v);a[i].id=i;}for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);ll l=0,r=S;minn=S;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;ll t=check(mid);minn=min(minn,abs(t-S));if(t<S)r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%lld",minn);
}
/*
10 3 40
7 5
2 2
3 3
4 5
1 6
5 4
6 8
4 1
3 5
2 5
1 10
2 5
2 6
*/
//14