Kalman滤波在船舶导航定位系统中的应用

KalmanKalmanKalman滤波在船舶GPSGPSGPS导航定位系统中的应用

全球定位系统(GlobalPositioningSystem，GPS)(Global\quad Positioning \quad System，GPS)(GlobalPositioningSystem，GPS)广泛应用于军事和国际经济各领域。船舶GPSGPSGPS导航定位系统将一台GPSGPSGPS接收机安装在运动目标(船舶)上就可以进行导航定位计算。GPSGPSGPS接收机可以实时收到在轨的导航卫星播发的信号，算出接受载体（船舶）的位置和速度。由于民用领域GPSGPSGPS导航卫星播发的信号人为加入了高频振荡随机干扰信号，致使所有派生的卫星信号均产生高频抖动。为了提高定位精度，需要对GPSGPSGPS关于船舶的位置和速度的观测信号进行滤波。在GPSGPSGPS系统中人为加入的高频随机干扰信号可看成是GPSGPSGPS定位的观测噪声，观测噪声强度(方差)可由GPSGPSGPS观测信号用系统辨识方法求得。

为将模型简单化，假定船舶出港沿某直线方向航行。以港口码头的出发处为坐标原点，设采样时间为T0T_0T0，用s(k)s(k)s(k)表示船舶在采样时刻kT0kT_0kT0处的真实位置，用z(k)z(k)z(k)表示在时刻kT0kT_0kT0处GPSGPSGPS定位的观测值，则有观测模型

z(k)=s(k)+v(k)z(k)=s(k)+v(k)z(k)=s(k)+v(k)

式中，v(k)v(k)v(k)表示GPSGPSGPS定位误差(观测噪声)，假设它是零均值、方差为σv2\sigma _v ^2σv2的白噪声，方差σv2\sigma _v ^2σv2以通过大量GPSGPSGPS观测试验数据用统计方法获取。记在时刻kT0kT_0kT0处船舶速度为s˙(k)\dot{s}(k)s˙(k)，加速度为a(k)a(k)a(k)，由匀加速运动公式有

s(k+1)=s(k)+T0s˙(k)+0.5T02a(k)s(k+1)=s(k)+ T_0 \dot{s}(k)+0.5T_0 ^2 a(k)s(k+1)=s(k)+T0s˙(k)+0.5T02a(k)

s˙(k+1)=s˙(k)+T0a(k)\dot {s}(k+1)=\dot s(k)+T_0 a(k)s˙(k+1)=s˙(k)+T0a(k)

而加速度a(k)a(k)a(k)由机动加速度u(k)u(k)u(k)和随机加速度w(k)w(k)w(k)两部分合成，即

a(k)=u(k)+w(k)a(k)=u(k)+w(k)a(k)=u(k)+w(k)

式中，u(k)u(k)u(k)为船舶动力系统的控制信号，它是人为输出的已知机动信号；w(k)w(k)w(k)是由海风和海浪引起的随机加速度，假设它是零均值、方差为的σw2\sigma _w ^2σw2独立于v(k)v(k)v(k)的白噪声。定义在采样时刻kT0kT_0kT0处系统的状态x(k)x(k)x(k)为船舶的位置和速度，即

x(k)=[s(k)s˙(k)]x(k)= \begin{bmatrix} s(k) \\ \dot s(k) \end{bmatrix}x(k)=[s(k)s˙(k)]

可得到船舶运动的状态方程

[s(k+1)s˙(k+1)]=[1T001][s(k)s˙(k)]+[0.5T02T0]u(k)+[0.5T02T0]w(k)\begin{bmatrix} s ( k + 1 ) \\ \dot s (k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&T_0 \\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s(k)\\ \dot s(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5T_0 ^2 \\ T_0 \end{bmatrix} u(k) + \begin{bmatrix} 0.5T_0 ^2 \\ T_0 \end{bmatrix} w(k)[s(k+1)s˙(k+1)]=[10T01][s(k)s˙(k)]+[0.5T02T0]u(k)+[0.5T02T0]w(k)

观测方程为

z(k)=[10][s(k)s˙(k)]+v(k)z(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s(k) \\ \dot s(k) \end{bmatrix} + v(k)z(k)=[10][s(k)s˙(k)]+v(k)

即系统的状态空间模型为

x(k+1)=Φx(k)+Bu(k)+Γw(k)x(k+1) = \Phi x(k) + Bu(k) + \Gamma w(k)x(k+1)=Φx(k)+Bu(k)+Γw(k)

z(k)=Hx(k)+v(k)z(k) = Hx(k) + v(k)z(k)=Hx(k)+v(k)

式中

Φ=[1T001],B=Γ=[0.5T02T0],H=[10]\Phi = \begin{bmatrix} 1 & T_0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \, , \, B = \Gamma = \begin{bmatrix} 0.5T_0 ^2 \\ T_0 \end{bmatrix} \, , \, H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}Φ=[10T01],B=Γ=[0.5T02T0],H=[10]

于是船舶GPSGPSGPS导航定位KalmanKalmanKalman滤波问题是：基于GPSGPSGPS观测数据z(1)，z(2)，…，z(k)z(1)，z(2)，…，z(k)z(1)，z(2)，…，z(k)，得到船舶在kkk时刻的位置s(k)s(k)s(k)的最优估计s^(k∣k)\hat {s} (k|k)s^(k∣k)。

在不考虑机动目标自身的动力因素时(u(k)=0)(u(k)=0)(u(k)=0)，将匀速直线运动的船舶系统推广到四维，即

X(k)=[x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]TX(k) = \begin{bmatrix} x(k) & \dot{x}(k) & y(k) & \dot{y}(k) \end{bmatrix} ^TX(k)=[x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]T

状态包含水平方向的位置速度和纵向的位置速度，则系统方程可以用下式表示

[x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]=[1T000100001T0001][x(k−1)x˙(k−1)y(k−1)y˙(k−1)]+[0.5T20T000.5T20T]w2×1(k)\begin{bmatrix} x(k) \\ \dot x(k) \\ y(k) \\ \dot y(k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & T & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & T \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(k-1) \\ \dot x(k-1) \\ y(k-1) \\ \dot y(k-1) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5T^2 &0 \\ T & 0 \\ 0 & 0.5T^2 \\ 0 & T \end{bmatrix} w_{2 \times 1}(k)⎣⎢⎢⎡x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1000T100001000T1⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡x(k−1)x˙(k−1)y(k−1)y˙(k−1)⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡0.5T2T00000.5T2T⎦⎥⎥⎤w2×1(k)

Z(k)=[10000010][x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]+v2×1(k)Z (k) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x(k) \\ \dot x(k) \\ y(k) \\ \dot y(k) \end{bmatrix} + v _ {2 \times 1}(k)Z(k)=[10000100]⎣⎢⎢⎡x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)⎦⎥⎥⎤+v2×1(k)

假定船舶在二维水平面上运动，初始位置为(-100m，200m)，水平运动速为2m/s，垂直方向的运动速度为20m/s，GPSGPSGPS接收机的扫描周期为T=1sT=1sT=1s，观测噪声的均值为0，方差为100。过程噪声越小，目标越接近匀速直线运动；反之，为曲线运动。

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