math_消除根式:椭圆的标准式方程推导坐标系平移整理多项式

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消除根式:椭圆的标准式推导
- 消除根式和
- - 以椭圆的标准方程推导过程为例
坐标系平移

消除根式:椭圆的标准式推导

消除根式和

p+q=A\sqrt{p}+\sqrt{q}=Ap+q=A

以椭圆的标准方程推导过程为例

椭圆 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

p+q=A(1)\sqrt{p}+\sqrt{q}=A\tag{1} p+q=A(1)
对于椭圆,其中:
- A=2aA=2aA=2a
p=(x+c)2+y2(1.1)p=(x+c)^2+y^2\tag{1.1} p=(x+c)2+y2(1.1)

q=(x−c)2+y2(1.2)q=(x-c)^2+y^2\tag{1.2} \\ q=(x−c)2+y2(1.2)

p−q=4cx(1.3)p-q=4cx\tag{1.3} p−q=4cx(1.3)

对(1)两边乘以共轭式p−q得到:p−q=A(p−q)p−qA=p−q即:对(1)两边乘以共轭式\sqrt{p}-\sqrt{q} 得到: p-q=A(\sqrt{p}-\sqrt{q}) \\ \frac{p-q}{A}=\sqrt{p}-\sqrt{q} \\即: 对(1)两边乘以共轭式p−q得到:p−q=A(p−q)Ap−q=p−q即:

p−q=p−qA(2)\sqrt{p}-\sqrt{q}=\frac{p-q}{A}\tag{2} p−q=Ap−q(2)

(1)+(2)2p=A+p−qA(1)+(2) \\ 2\sqrt{p}=A+\frac{p-q}{A} \\ (1)+(2)2p=A+Ap−q

4p=(A+p−qA)2★(3)4p=(A+\frac{p-q}{A})^2\bigstar\tag{3} 4p=(A+Ap−q)2★(3)

式(3)不仅限于椭圆

而对于椭圆,将(1.1~1.3)式带入(3)

4((x+c)2+y2)=(A+4cxA)2归边化简a2x2+2a2cx+a2c2+a2y2−a4−2a2cx−c2x2=0消掉可以消去互为相反数的项(pair)a2x2+a2c2+a2y2−a4−c2x2=04((x+c)^2+y^2)=(A+\frac{4cx}{A})^2 \\归边化简 \\ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2-a^4-2a^2cx-c^2x^2=0 \\消掉可以消去互为相反数的项(pair)\\ a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2-a^4-c^2x^2=0 4((x+c)2+y2)=(A+A4cx)2归边化简a2x2+2a2cx+a2c2+a2y2−a4−2a2cx−c2x2=0消掉可以消去互为相反数的项(pair)a2x2+a2c2+a2y2−a4−c2x2=0

利用表格统计的时候,缺失的项可以放空(尤其是仅有一个变量的时候)

x2x^2x2	a2−c2a^2-c^2a2−c2	y2y^2y2	a2a^2a2
x1x^1x1	0	y1y^1y1	0
常数队列:a2c2−a4a^2c^2-a^{4}a2c2−a4

降幂排列统计(先x幂队和再y幂队最后常数项队列)((逐项归类)(a2−c2)x2+a2y2−a4+a2c2=0;记b2=a2−c2b2x2+a2y2+a2(c2−a2)=0x2a2+y2b2=1降幂排列统计(先x幂队和再y幂队最后常数项队列)\\((逐项归类) (a^2-c^2)x^2+a^2y^2-a^4+a^2c^2=0;记b^2=a^2-c^2 \\ b^2x^2+a^2y^2+a^2(c^2-a^2)=0 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 降幂排列统计(先x幂队和再y幂队最后常数项队列)((逐项归类)(a2−c2)x2+a2y2−a4+a2c2=0;记b2=a2−c2b2x2+a2y2+a2(c2−a2)=0a2x2+b2y2=1

坐标系平移

设坐标系C0上有一点p00(m,n)设坐标系C_0上有一点p_0^0(m,n)设坐标系C0上有一点p00(m,n)
坐标系C1上有一点p10(0,0);该点是由p00经过相应的平移映射而来坐标系C_1上有一点p_1^0(0,0);该点是由p_0^0经过相应的平移映射而来坐标系C1上有一点p10(0,0);该点是由p00经过相应的平移映射而来
即,假设平移规则为:c0坐标的原点移动到c0的(m,n)位置,以该位置作为新坐标系c1的坐标原点(0,0)c1即,假设平移规则为:c_0坐标的原点移动到c_0的(m,n)位置, \\以该位置作为新坐标系c_1的坐标原点(0,0)_{c_1} 即,假设平移规则为:c0坐标的原点移动到c0的(m,n)位置,以该位置作为新坐标系c1的坐标原点(0,0)c1
- (m,n)c0→(0,0)c1则(0,0)c0→(−m,−n)c1则(x,y)c0→(x−m,y−n)c1(m,n)_{c_0}\to(0,0)_{c_1} \\则 (0,0)_{c_0}\to(-m,-n)_{c1} \\则 (x,y)_{c_0}\to(x-m,y-n)_{c1} (m,n)c0→(0,0)c1则(0,0)c0→(−m,−n)c1则(x,y)c0→(x−m,y−n)c1
- 记c0坐标上的点为(x0,y0)c1坐标上点为(x1,y1){x1=X(x0)=x0−my1=Y(y0)=y0−n记c_0坐标上的点为(x_0,y_0) \\ c_1坐标上点为(x_1,y_1) \\ \begin{cases} x_1=X(x_0)=x_0-m \\ y_1=Y(y_0)=y_0-n \end{cases} 记c0坐标上的点为(x0,y0)c1坐标上点为(x1,y1){x1=X(x0)=x0−my1=Y(y0)=y0−n
- 对于c0上的曲线方程B0:x02a+y02b=1对于c1上的曲线方程B1:x12a+y12b=1由上述映射关系(参数方程)B1在c0上的方程为:(x0−m)2a+(y0−n)2b=1对于c_0上的曲线方程B_0:\frac{x_0^2}{a}+\frac{y_0^2}{b}=1 \\ 对于c_1上的曲线方程B_1:\frac{x_1^2}{a}+\frac{y_1^2}{b}=1 \\由上述映射关系(参数方程) \\B_1在c_0上的方程为:\frac{(x_0-m)^2}{a}+\frac{(y_0-n)^2}{b}=1 对于c0上的曲线方程B0:ax02+by02=1对于c1上的曲线方程B1:ax12+by12=1由上述映射关系(参数方程)B1在c0上的方程为:a(x0−m)2+b(y0−n)2=1
- 同理,可以得到B0在c1坐标系上的方程为:(x0+m)2a+(y0+n)2b=1还比如,可以用容易验证的圆方程R:x12+y12=r2(C1上)(x0−m)2+(y0−n)2=r2(c0坐标系投影到C0上)同理,可以得到B_0在c_1坐标系上的方程为:\frac{(x_0+m)^2}{a}+\frac{(y_0+n)^2}{b}=1 \\还比如,可以用容易验证的圆方程R: x_1^2+y_1^2=r^2(C_1上) \\(x_0-m)^2+(y_0-n)^2=r^2(c_0坐标系投影到C_0上) 同理,可以得到B0在c1坐标系上的方程为:a(x0+m)2+b(y0+n)2=1还比如,可以用容易验证的圆方程R:x12+y12=r2(C1上)(x0−m)2+(y0−n)2=r2(c0坐标系投影到C0上)
- 更一般的,有
  c1坐标系(层)上的曲线B(x1,y1)=0在c0坐标系上可以这样描述B(x0−m,y0−n)=0c_1坐标系(层)上的曲线B(x_1,y_1)=0 \\ 在c_0坐标系上可以这样描述B(x_0-m,y_0-n)=0 c1坐标系(层)上的曲线B(x1,y1)=0在c0坐标系上可以这样描述B(x0−m,y0−n)=0