贝叶斯概率在目标跟中的应用及CK方程推导（20.9.27）
贝叶斯概率在目标跟中的应用及CK方程推导
一.贝叶斯定理
1.两个事件的情况讨论
贝叶斯定理是目标跟踪的基本原理，对于两个相关的事件x和y。x通常代表被考察目标的状态。y通常表示传感器的输出（也是x的观测值）
我们要求的的目标是事件x的条件概率
p(x,y)为x与y的联合概率
p(y)为事件y的无条件概率，也称归一化因子
p(y/x)=L(x)是关于x的函数，也被称为似然函数
p(x/y)正比于p(y/x)p(x)
2.三个事件的情况讨论
3.基于多个时间点t1,t2…tk对应观测y1,y2,…yk的递推过程建立
|
| 时刻 | 对应后验分布 |
|---|---|
| 时刻0 | 未获得观测数据，p(x)代表所有关于x的知识 |
| t1时刻 | p(x/y1)正比于p(y1/x)p(x) |
| t2时刻 | p(x/y1,y2)正比于p(y2/x,y1)p(x/y1) |
| tk时刻 | p(x/y1…yk)正比于p(yk/x,y1…yk-1)p(x/y1…yk-1) |
多事件类比到三个事件
二.贝叶斯定理在目标跟踪中的应用
1.基本符号表示与目标函数
（1）目标状态的全部概率知识可由联合密度函数可由如下表示
Sk为向量表示tk时刻目标的状态，数目、身份、或者所有这些信息的组合
（2）传感器输出为
（3）后验分布也是目标函数如下
其中
三.目标跟踪公式递推以及CK公式的推导
1.
也就是求p(Sk/yk)与p(Sk-1,yk-1)的关系
2.
由于因果性原理k-1时刻的目标观测值yk-1与看时刻之后的目标状态无关所以：
综上可得：
3.
（1）通常给定时刻仅与当前时刻的目标状态相关，与其他时刻的目标观测条件独立所以
（2)假设实际系统遵循马尔可夫性质，系统当前状态与之前的状态无关。Sk仅与Sk-1有关于Sk-2…S1无关所以
综上所述：
4.CK 公式的推导
根据式（1.2）上式变为
又因为
所以
其中
被称为Chapman-Kolmogorov公式，求解该积分即给出，给定k-1时刻之前的观测与状态情况下的预测状态。当获得k时刻的观测yk时预测状态则被似然因子p(yk/Sk)修正并重新归一化。
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