Floyd-Warshall (弗洛伊德算法)

问题描述：A准备去旅游，有些城市之间有公路，有些则没有，为了节省经费以及方便计划旅程，A希望找出任意两个城市之间的最短路程。

解析：有图可得有4个城市8条公路，并且都为单向的，现在需要一个数据结构来存储图的信息，可用一个4*4的矩阵来存储。

（图片解析：e[1][2]的值为2，就代表1号城市到2号城市的距离为2）

如果要让任意两点之间的距离变短，则要引入1，2，3......到n个点，下面将问题一般化。

当任意两点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间的最短路程就是初始路程。（如下图）

假如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路径，则只需判断e[i][1]+a[1]

[j]是否比e[i][j]要小即可。代码实现：

for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][j]>e[i][1]+e[1][j])e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];}
}

最短路线更新为：

现在继续求经过1号和2号两个顶点后的最短路径。（在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路径的结果下，判断经过2号顶点是否可使其最短）代码如下：

for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][j]>e[i][2]+e[2][j])e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];}
}

现在最短路径更新为：

综上，我们可以得到其核心代码：


for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];}}
}

这个算法的完整代码：

#include<stdio.h>
int main()
{int e[10][10],k,j,n,m,t1,t2,t3;int inf=99999999;scanf("%d %d",&n,&m);//初始化for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i==j) e[i][j]=0;else  e[i][j]=inf;}}//读入边for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);e[t1][t2]=t3;}//Floyd-Warshall算法核心语句for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];}}}//输出最终结果for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%10d",e[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}

（注释：如何表示正无穷。通常定义为99999999，因为这两个数相加，其和仍然不超过int类型的范围（C语言中int类型可以存储的最大整数是2147483647）。

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