最短路径之弗洛伊德算法（Floyd）—

弗洛伊德算法（Floyd）主要针对多源最短路径，且可以解决路径中有负权的情况（不包含负权回路），但是迪杰斯特拉算法只能解决正权值的单源最短路径（可以迭代多次求多源）。

1.弗洛伊德算法的基本思想

弗洛伊德算法从图的带权邻接矩阵cost出发，
假设求从顶点viv_{i}vi到vjv_{j}vj的最短路径：
如果从viv_{i}vi到vjv_{j}vj有弧，则从viv_{i}vi到vjv_{j}vj存在一条长度为arcs[i][j]的路径，但是不一定是最短的，还需进行n次试探。

首先考虑k=0k=0k=0时，路径(vi,v0,vj)(v_{i},v_{0},v_{j})(vi,v0,vj)是否存在，若存在则判断(vi,vj)(v_{i},v_{j})(vi,vj)和(vi,v0,vj)(v_{i},v_{0},v_{j})(vi,v0,vj)的路径长度较短者，为从viv_{i}vi到viv_{i}vi的中间顶点的序号不大于0的最短路径；
假设在路径上再增加一个节点v1v_{1}v1，也就是说如果(vi,...,v1)(v_{i},...,v_{1})(vi,...,v1)和(v1,...,vj)(v_{1},...,v_{j})(v1,...,vj)分别是当前找到的中间顶点的序号不大于0的最短路径，那么(vi,...,v1,...,vj)(v_{i},...,v_{1},...,v_{j})(vi,...,v1,...,vj)就有可能是从viv_{i}vi到vjv_{j}vj中间的顶点的序号不大于1的最短路径。将它和从viv_{i}vi到vjv_{j}vj中间的顶点的序号不大于0的最短路径，从中选最小者为最后从viv_{i}vi到vjv_{j}vj中间的顶点的序号不大于1的最短路径；
依次类推，逐渐增加中间顶点的序号值到n−1n-1n−1，则经过nnn次比较后可求得从viv_{i}vi到vjv_{j}vj的最短路径。

2.弗洛伊德算法的基本表示

弗洛伊德算法属于动态规划算法的一种，而动态规划算法的关键是：

如果将原问题划分为子问题？
即如何确定子问题的状态；
如何通过子问题的求解得到原问题的解？
即如何建立状态转移方程（我喜欢叫它动态规划的递归方程）。
通过1的分析，我们可以这样来定义一个子问题：
即定义一个n阶方阵序列：
D−1,D0,D1,...,Dk,...,Dn−1D^{-1},D^{0},D^{1},...,D^{k},...,D^{n-1}D−1,D0,D1,...,Dk,...,Dn−1
其中，DkD^{k}Dk表示当前求得的最短路径权值矩阵。
而动态递归方程：

其中，D(k)[i][j]D^{(k)}[i][j]D(k)[i][j]表示从v[i]v_[i]v[i]到vjv_{j}vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度。D(n−1)[i][j]D^{(n-1)}[i][j]D(n−1)[i][j]就是我们最后要求的从viv_{i}vi到vjv_{j}vj的最短路径。

3.弗洛伊德算法的实现

有了动态递归方程和初始条件，我们就可以编写代码像解数列公式一样求出各对顶点间的最短路径。
只需注意问题的初始化和主变量的确定，这个问题的主变量是中间顶点的标号，应该将其放在最外层循环，就像数列递推公式的下标一样。
为了存储最短路径序列，我们还需要一个数组path，且path[v][w]存储vvv到www的最短路径上vvv的后继节点，初始化为www。最后可以通过递归打印vvv到www的最短路径。

关键代码：

void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, int** path, int**distance) {// 初始化int u, v, w;for ( u = 0; u < G.vexnum; u++) {for (v = 0; v < G.vexnum; v++) {distance[u][v] = G.arcs[u][v];path[u][v] = v;}}// 3个FOR循环更新ditance共n-1次for (u = 0; u < G.vexnum; u++) {for (v = 0; v < G.vexnum; v++) {for (w = 0; w < G.vexnum; w++) {// 设置中间变量，防止整数溢出；// 当然，若非邻接顶点的表示不是INT_MAX，而是一个非最大值的大数则不用int temp = (distance[v][u] == INT_MAX || distance[u][w] == INT_MAX) ?INT_MAX : (distance[v][u] + distance[u][w]);if (temp < distance[v][w]) {distance[v][w] = temp;path[v][w] = path[v][u]; // 更新v的直接后继}}}}
}

完整代码：

#include <iostream>
#include <string>using namespace std;#define MAX_VEX_NUM 50
// 定义图的邻接矩阵存储
typedef struct MGraph {int arcs[MAX_VEX_NUM][MAX_VEX_NUM];string vexs[MAX_VEX_NUM];int arcnum, vexnum;
}MGraph;
void createGraph(MGraph& G);
int locate(MGraph G, string u);
void showMatrix(MGraph G);
void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, int** path, int**distance);
void showPath(MGraph G,int** path, int start, int end); //打印start-end的最短路径
int main() {MGraph G;createGraph(G);showMatrix(G);int** path; // 记录各个最短路径的信息int** distance; // 记录权值矩阵path = new int*[G.vexnum];distance = new int*[G.vexnum];for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {path[i] = new int[G.vexnum];distance[i] = new int[G.vexnum];}ShortestPath_FLOYD(G, path, distance);cout << "path矩阵:\n";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) cout << path[i][j];cout << endl;}showPath(G, path,0, 2);// 释放内存for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {delete[] path[i];delete[] distance[i];}delete[] path;delete[] distance;system("pause");return 0;
}
void showPath(MGraph G,int** path, int start, int end) {int begin = path[start][end];cout << G.vexs[start] << "到" << G.vexs[end] << "的最短路径:\n";cout << G.vexs[start];while (begin != end) {cout << "-->" << G.vexs[begin];begin = path[begin][end]; // 迭代后半段}cout << "-->" << G.vexs[end] << endl;
}
void showMatrix(MGraph G) {cout << "图的邻接矩阵:\n";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {if (G.arcs[i][j] == INT_MAX)cout << "oo" << " ";else cout << G.arcs[i][j] << " ";}cout << endl;}
}
void createGraph(MGraph& G) {cout << "输入图的顶点数和边数:\n";cin >> G.vexnum >> G.arcnum;cout << "输入图的顶点信息:\n";int i;for (i = 0; i < G.vexnum; i++) cin >> G.vexs[i];// 初始化邻接矩阵int j;for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {for (j = 0; j < G.vexnum; j++)G.arcs[i][j] = INT_MAX;}cout << "输入图的边的权值信息vi vj weight:\n";for (i = 0; i < G.arcnum; i++) {string v1, v2;int weight;cin >> v1 >> v2 >> weight;int l1 = locate(G, v1);int l2 = locate(G, v2);G.arcs[l1][l2] = weight;}
}

测试用例：

3 5
V0 V1 V2
V0 V1 4
V0 V2 11
V1 V0 6
V1 V2 2
V2 V0 3

即带权有向图：

参考资料

《数据结构 C语言描述》严蔚敏著