李群、李代数等机器人学数学概念

Question：设函数T = transl(x,y,z)，创建SE3平移变换。H = transl (0.5 0 0) = ? SE3变换的目的是什么？

解：三维齐次矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0&0 & 0.5\\ 0& 1& 0 &0 \\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$ ，x轴平移0.5。

目的：在配置空间用齐次矩阵求解机器人的平移和旋转变换。

1、李群与李代数

李群SE(3) 是旋转加上位移，也称欧式变换、刚体变换，一般我们用矩阵 $\begin{bmatrix} R & t\\ 0& 1 \end{bmatrix}$ 来表示，其中R为旋转， t 为位移，所以有6个自由度，3个旋转，3个位置。

2、欧拉角（Euler angles）定义：用来确实定点转动刚体位置的三个角向量

若令Ox'y'z'的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz'的三次转动Z（ψ）、N（θ）、Z'（φ）后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。变换关系可写为：

R（ψ,θ,φ）=Z'（φ）N（θ）Z（φ）

应用：在刚体的问题上，xyz坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。

3、叉乘与点乘

点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。

叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。方向的判定采用右手法则。

4、刚体变换（欧式变换）

只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚性变换。刚性变换是最一般的变换。

5、齐次坐标系与齐次矩阵

齐次坐标使用N+1维坐标来表示N维坐标，例如在2D笛卡尔坐标系中加上额外变量w来形成2D齐次坐标系(x,y)⇒(x,y,w) 。齐次坐标具有规模不变性，同一点可以被无数个齐次坐标表达.(x,y,1)⇒(ax,ay,a) 齐次坐标转化为笛卡尔坐标可以通过同除最后一项得到。为什么要引入齐次坐标系。简单的理解就是可以使用矩阵同时描述旋转和平移，这样就可以使用矩阵相乘来表述物体的旋转、缩放和平移了。

齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。

参考：https://blog.csdn.net/winbobob/article/details/38829001 齐次坐标(Homogeneous Coordinate)的理解

https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

齐次矩阵可以描述刚体在空间中的位姿，也可以描述位姿变换过程：

(1, 4, 7)'如果写成(1,4,7,0)'，它就是个向量；如果是(1,4,7,1)'，(2,8,14,2)'它就是一个点。

坐标轴的齐次坐标: (1,0,0,0)' (0,1,0,0)'(0,0,1,0)

齐次坐标系下刚体变换：（平移、旋转、绕定点旋转：）

6、内积：对任意的 $\alpha =\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n}\\ \end{pmatrix} , \beta \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{2}\\ \end{pmatrix}\in R^{n}$ ,实数 $\alpha ^{T}\beta =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$ ,称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积，记作 $\left ( \alpha , \beta \right )$ .

为代数定义，另有几何定义。

7、欧式空间：在实数域R上，线性空间V（或向量空间）上定义着内积g，则V为g的内积空间或欧式空间。

简而言之，欧氏空间就是具有了内积的线性空间。线性空间引入内积的目的是为了能够计算两点间的距离和夹角。或者说为了线性空间解析和度量。

具体的，参考宮非大佬的解释：https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created

8、非欧空间：自然界存在着两种基本空间，欧氏空间和非欧空间，欧氏空间有不变的几何中心，是自然界的骨架。非欧空间是“弯曲的”，非欧空间的面是曲面。

非欧几何，爱因斯坦曾经形象地说明过：假定存在一种二维扁平智能生物，但它们不是生活在绝对的平面上，而是生活在一个球面上，那么，当它们在小范围研究圆周率的时候，会跟我们一样发现圆周率是3.14159……可是，如果它们画一个很大的圆，去测量圆的周长和半径，就会发现周长小于2πr，圆越大，周长比2πr小得越多，为了能够适用于大范围的研究，它们就必须修正它们的几何方法。如果空间有四维，而我们生活在三维空间中，而这个三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲，我们的几何就会象那个球面上的扁平智能生物一样，感受不到第四维的存在，但我们的几何必须进行修正，这就是非欧几何。在非欧几何中，平行的直线只在局部平行，就象地球的经线只在赤道上平行。
闵可夫斯基空间属于欧几里得几何的扩展，它是把时间也作为一个维度进行量化，再添加光速系数，跟洛伦兹变换一样，使得不同惯性系中的运动问题计算得以简化。

9、标准欧式口空间：四维空间被称为标准欧几里得空间，可以拓展到n维。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。

10、解析几何：解析几何指借助笛卡尔坐标系（“平面直角坐标系”或“ 空间直角坐标系”），用解析式来研究几何对象之间的关系和性质。

解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，是数学发展史上的一次重大突破。在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

11、笛卡尔坐标系（直角坐标系）：笛卡尔坐标系是欧氏空间坐标系的一种具体实现形式。

12、构筑空间（配置空间，关节空间（近似））：

参考文章：https://www.zhihu.com/question/60108896/answer/224251293

配置空间一般指运动机构输出的位置量。例如机械臂，配置空间就是所有关节角度位置的空间。一个机械臂有两个关节，那配置空间就是二维的线性空间，即 $R^{2}$ 。每一个维度表示一个关节所处的位置。与配置空间对应的是工作空间（笛卡尔空间），即机器人所处的三维空间。

在配置空间做轨迹规划的优点：

第一、求机器人的运行轨迹，执行机构是在配置空间进行，如控制机械臂运动的方法是直接控制关节电机的角度，而不是直接控制关节的位置。所以在配置空间上规划路线非常方便执行，不需要转换。

第二、很多机构的运动限制是在配置空间描述的，比如关节电机的最大角度、关节电机的最大角速度等，在配置控制进行规划也方便考虑这些限制。

第三、配置空间与工作空间互相转换（正逆运动学）的不对称。正运动学存在解析解且唯一，非常容易计算且计算速度非常快。而逆运动学对于简单的机械臂结构也是很难的问题，不一定存在解（比如你后背上的某些地方你的手抓不到），存在解也不一定为唯一（你抓前面的点有多重手臂姿势可以抓），还存在奇点等情况。求解轨迹是需要同时考虑配置空间和工作空间，所以倾向于在配置空间上进行求解，需要时转换到工作空间，而不是做难度大的多的相反过程。

13、奇异点、关节限制、约束等概念与路径规划

（1）机器臂的运动规划可以分为两个层面：一是笛卡尔空间的路径规划（末端位姿）；一是关节空间的运动参数设计（机器人构型）。实际作业中，机器人需要综合考虑碰撞检测、奇异点回避、工作空间限制、轴超限保护等约束条件，更严格的还应考虑运动的平稳性（主要取决于关节速度、加速度）、关节力矩和关节力约束等等。

参考文献：https://www.zhihu.com/question/22292611/answer/120145152 回答者：fq-shine

（2）奇点是机器人逆运动学引起的。奇点时，机器人到达某一位置有无数种解。奇点造成器械臂重启。

参考文献：http://www.360doc.com/content/16/0307/09/1751130_540133919.shtml 三类奇点

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