1 简单数学
2 最大公约/最小公倍
3 分数运算
4 素数
5 快速幂
5 高精度问题
6 常见数学公式总结
7 规律神器OEIS

1 简单数学

（1）同余模定理：所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。
数学上的记法为： (是 ≡ (mod d))

a ≡ b(mod d)

可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12，所以小时数都是模 12 的同余. 对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a 和 b 是模 d 同余的.
(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .
(3) d 整除 a - b .

定律：同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的表示:

1) a≡a(mod d)
2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4) a+b≡x+m （mod d）
5) a-b≡x-m(mod d)
6) a*b≡x*m(mod d )

应用：加减乘的mod可拆！！同余模定理的运算不适用于除法，除法等价于乘倒数(逆元)，对于除法取模的运算我们一般使用逆元来解决问题

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
(a-b)%c=(a%c-b%c)%c;
(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

如当n^5却超过long long的范围，只要我们对答案%3，这时候我们就可以运用同余模定理，分解取摸。

大数取模：这里的大数指无法用long long保存的数，每位被存在string s[i]中，对其求余联想到进制转换时的方法，举例如下，设大数 m=1234, 模 n 就等于

 1234%n
=1000%n + 200%n + 30%n + 4%n
= ((((1*10)%n + 2%n)%n *10 %n + 3%n)% n *10 %n + 4%n)%n

for(i = 0; s[i] != '\0'; i++)  m = ((m * 10) % n + (s[i] - '0') % n) % n;

（2）数位拆解：十进制数x，不断重复将x对10求模，除以10，就可以得到数字x各个数位上的数字。

   //拆分while (x){//得到当前整数x、个位数subsub = x% 10;//切割这一整形x/= 10;//输出cout << sub;}

（3）进制转化：将M进制的数X转换为N进制的数并输出。

输入的第一行包括两个整数：M和N（2 ≤ M , N ≤ 36）
下面的一行输入一个数X，X是M进制的数，现在要求你将M进制的数X转换成N进制的数并输出。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;/*题目描述： 从M进制转换到N进制
*/
string divide(string str, int x,int &reminder){//字符串除法，reminder是余数reminder = 0;for(int i = 0;i<(int)str.size();i++){int current = (str[i]-'0') + reminder*10;str[i] = (current/x)+'0';reminder = (current%x);}int pos = 0;while(str[pos] == '0') pos++;return str.substr(pos);
}string mutiply(string str, int x){//字符串乘法，结果为10进制字符串int carry = 0;for(int i = str.size()-1;i>=0; i--){int current = x*(str[i]-'0')+carry;str[i] = (current%10)+'0';carry = current/10;}if(carry) str.insert(0,1,carry+'0');return str;
}string add(string str, int x){//字符串加法，结果为10进制字符串int carry = x;for(int i = str.size()-1; i>=0; i--){int current = (str[i]-'0')+carry;str[i] = (current%10)+'0';carry = (current/10);if(!carry) break;}if(carry) str.insert(0,1,carry+'0');return str;
}int ToInt(char c){//进制位值转换为int值if('0'<= c && c <= '9') return c-'0';if('A'<= c && c <= 'Z') return c-'A'+10;
} char ToChar(int x){//int值转换为进制位值if(x<10) return x+'0';else return (x-10)+'A';
}int main(){int M,N;cin>>M>>N;string str;cin>>str;string decimal = "0";stack<char> answer;for(int i = 0;i<str.size();i++){ //转换为10进制decimal = mutiply(decimal,M);decimal = add(decimal,ToInt(str[i]));}while(decimal != ""){ //转换为N进制int bit;decimal = divide(decimal,N,bit); //bit作为余数被传回answer.push(ToChar(bit));}while(!answer.empty()){cout<<answer.top();answer.pop();}cout<<endl;return 0;
}

2 最大公约/最小公倍

(1)最大公约数gcd：使用欧几里得算法。

若a,b全为零，则他们的最大公约数不存在；
若a,b其中之一为零，则最大公约数为a，b中的非零数；
若都不为零，则可以使新a=b, b=a%b，递归重复该过程，直到其中一个为零。

# include<iostream>
using namespace std;int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
}

实际上我们也不需要记忆，c++的#include<algorithm>中已经实现了该函数__gcd(x,y)。
判断x和y互质：gcd(x,y)==1
分数化简：x / y = (x/gcd(x,y)) / (y/gcd(x,y))

(2)最小公倍数lcm：lcm(a,b) = (a*b) / gcd(a,b)。所以求得最大公约数即求得最小公倍数。

#define  __lcm(x,y)  x*y/__gcd(x,y)cout<<__lcm(x,y);

3 分数运算

对分数求加减乘除，以及化简

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
//分数结构体
struct Fraction{long  up,down;
};
//求分子分母的最大公约数
int gcb(int a,int b)
{if(b==0)return a;elsereturn gcb(b,a%b);
}
//化简
Fraction reduction(Fraction &result)
{if(result.down < 0)  //分母为负{result.down = -result.down;result.up = - result.up;}else if(result.up == 0)  //分母为0result.down = 1;else{int x = gcb(abs(result.up),abs(result.down));  //分子分母同时除最大公约数result.up /= x;result.down /= x;}return result;
}
//加法
Fraction Add(Fraction a,Fraction b)
{Fraction c;c.up = a.up * b.down + a.down * b.up;c.down = a.down * b.down;return reduction(c);
}
//减法
Fraction minu(Fraction a,Fraction b)
{Fraction c;c.up = a.up * b.down - a.down * b.up;c.down = a.down * b.down;return reduction(c);
}
//乘法
Fraction multi(Fraction a,Fraction b)
{Fraction c;c.up = a.up * b.up;c.down = a.down * b.down;return reduction(c);
}
//除法
Fraction divide(Fraction a,Fraction b)
{Fraction c;c.up = a.up * b.down;c.down = a.down * b.up;return reduction(c);
}
void showresult(Fraction result)
{if(result.down == 1)cout<<result.up<<endl;else if(abs(result.up)>abs(result.down))cout<<result.up /result.down <<" "<<abs(result.up % result.down)<<"/"<<result.down<<endl;elsecout<<result.up<<"/"<<result.down<<endl;
}
int main()
{Fraction f1,f2;while(cin>>f1.up>>f1.down>>f2.up>>f2.down){showresult(Add(f1,f2));showresult(minu(f1,f2));showresult(multi(f1,f2));showresult(divide(f1,f2));}return 0;
}

4 素数

素数/质数，是指除了1和本身之外，不能被其他数整除的数。
合数/非素数：是指除了1和本身之外，能被其他数整除的数。

（1）判断素数

     int x,flag=0;cin>>x;if(x==1){cout<<"no";continue;}rep(i,2,sqrt(x)+1){if(x%i==0){flag=1;break;}}if(flag==0)cout<<"yes"<<endl;else cout<<"no"<<endl;

筛选[1,n]区间内的素数，逐个用上面的方法复杂度是 O ( n ∗ s q r t ( n ) ) O(n*sqrt(n)) O(n∗sqrt(n))，我们需要找到一种线性复杂度的筛法 O ( n ) O(n) O(n)

（2）筛法求素数：筛法，若一个数不是素数，则必存在一个小于它的素数为其因数。换一个角度来讲，在获得一个素数时，即将它的所有倍数均标记成非素数，这样当我们遍历到一个数时，它没有被任何小于它的素数标记为非素数，那么就确定其为素数。(思路就是标记倍数为非素数)

例如：筛选[1，30]的素数

把从1开始的、某一范围内的正整数集合从小到大顺序排列，1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
其中，1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是:3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

bool mark[10001];    //标记(true表示非素数,即合数)
vector<int> prime;  //保存素数int main(){int n; cin>>n;for (int i=2; i<n; i++){                   //  求[1,n]内的素数if (mark[i] == true) continue;          //  跳过已标记为合数的数prime.push_back(i);                   //  保存素数ifor (int j=i+i; j<n; j+=i)              //  标记 素数i的倍数 为 非素数mark[j] = true;}for(auto e:prime)cout<<e<<' ';return 0;
}

（3）素(质)因子分解：即分解整数x的 素数 p i p_i pi 和对应的指数 e i e_i ei。
x = p 1 e 1 + p 2 e 2 + . . . . . . + p n e n x = p_1^{e_1}+ p_2^{e_2} +......+p_n^{e_n} x=p1e1+p2e2+......+pnen

step1：首先筛选出小于sqrt(x)的所有素数，然后依次遍历小于x的素数，判断其是否为x的因数。
step2：确定某素数为x的因数，则通过试除确定其对应的幂指数。

例如对120进行分解，先求[1,120]的所有素数，从小到达，用素数试除120，找到一个可以整除的素数，一直除，直到不能整除，再找更大可整除的素数，直到120被除到1。

120/2 = 60， 60/2 = 30， 30/2 = 15， 15/3 = 5， 5/5 = 1

得到120 = 2*2*2*3*5

//此处省略求[1,sqrt(x)]区间的素数
int ansPrime[30];//按顺序保存分解出的素因数pi
int ansSize=0;//分解出素因数的个数；
int ansNum[30];//保存分解出的素因数对应的幂指数ei
for(int i=0;i<primeSize;i++)
{if(x%prime[i]==0){ansPrime[ansSize]=prime[i];ansNum[ansSize]=0;while(x%prime[i]==0){ansNum[ansSIze]++;x/=prime[i];}ansSize++;if(x==1) break;}
}

5 快速幂

pow函数求 a b a^{b} ab ，就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n), 但快速幂能做到 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)的复杂度。

快速幂：将次幂b转化为二进制数，如求 a 11 a^{11} a11时，即 1 1 ( 10 ) = 2 ( 10 ) 0 + 2 ( 10 ) 1 + 2 ( 10 ) 3 = 101 1 ( 2 ) 11_{(10)}= 2^0_{(10)}+2^1_{(10)}+2^3_{(10)} =1011_{(2)} 11(10)=2(10)0+2(10)1+2(10)3=1011(2)，所以 a 11 = a 2 0 + 2 1 + 2 3 = a 2 0 ∗ a 2 1 ∗ a 2 3 a^{11}=a^{2^0+2^1+2^3}=a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3} a11=a20+21+23=a20∗a21∗a23，这样一来只需要计算 a 2 0 ， a 2 1 ， a 2 3 a^{2^0}，a^{2^1} ，a^{2^3} a20，a21，a23，并把它们乘起来。实现了11次运算变3次。

对于二进制的位运算，我们需要用到"&“与”>>"运算符

#define LL long long
LL quickPow(LL a,LL b){  // 求a^bLL res=1;           // res存放a^b结果while(b>0){            // b>0时不断右移，取二进制最低位if(b&1) res=res*a;//当前二进制b最低位=1时(b%2=1)，结果+=结果乘ab>>=1; //二进制b右移一位(十进制b除2)a*=a;//a次方加1(每次b右移一位，a的次方加1)}return res;
}

其中“b & 1”指取b的二进制数的最末位，如11的二进制数为1011，第一次循环，取的是最右边的“1” ，以此类推。
而“b >>= 1 ”等效于b = b >> 1，即右移1位，删去最低位。

变形题目： x n % m x^n \% m xn%m，其中x很大，用大数模拟很麻烦，可以用同余模定理，保证res在int范围内

5 高精度问题

大数的加减乘除，常见的int(10位)和long long( 位)表示10进制整数时位数不够，需要用数组/string模拟大数，并构造它的运算法则。本质都是模拟逐位运算，进位借位的过程。
为方便进位，约定倒着表示结果，从个位进行运算，计算完结果反转，如计算大数加法988+99时，诸位计算完倒着的结果是7801，反转为1087.

大数加法a+b：ab都是大数，保证a为最长的数，将b前面补0和a长度相等，for从个位逐位相加，加进位carry，计算下一位的进位carry，计算结束，结束时进位carry不=0，结果最前面插入一位进位值。（因为string在前面插入方便，这里并没有使用上述的结果反转实现，而是直接开一个固定长度的结果，倒着算，不够进位时才插入）仅使用正数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)string Add(string a, string b){if(a.size()<b.size()) swap(a,b);  //使a一直为位数较长的字符串  reverse(a.begin(),a.end()),reverse(b.begin(),b.end());  //反转字符串！！方便从个位开始运算b.insert(b.end(),a.size()-b.size(),'0');  //较短的字符串前面补零方便计算 string res(a.size(),0); //初步设置result长度为较长字符长度  int carry=0,tmp;//carry进位//逐位计算for(int i=0;i<a.size();i++){tmp = (a[i]-'0') + (b[i]-'0') + carry;if(tmp > 9) carry=1;else carry=0;res[i] = tmp%10 + '0';     }if(carry==1) res+='1';  //若结束时，进位不为0，还要在结果前面补上进位 reverse(res.begin(),res.end());return res;
}int main() {  string a, b;  while (cin >> a >> b)  cout << Add(a, b) << endl;  return 0;
}

大数减法a-b：ab都是大数，保证A大于等于B，逆序反转字符串，从个位开始计算res[i] = A[i] - B[i] - carry，carry=0，如果不够减则借位res[i] = A[i] - B[i] - carry +10，carry=1.

string Sub(string a, string b){int flag=0;if(a.size()<b.size() || (a.size()==b.size() && a<b )) {swap(a,b); flag=1;}reverse(a.begin(),a.end()),reverse(b.begin(),b.end());b.insert(b.end(),a.size()-b.size(),'0');string res(a.size(),0); int carry=0,tmp;//carry接位//逐位计算for(int i=0;i<a.size();i++){tmp = (a[i]-'0') - (b[i]-'0') - carry;if(tmp <0) carry=1;else carry=0;res[i] =(tmp + 10*carry) + '0';     }//去除末尾连续的0 while(res.back()=='0'&&res.size()>1)res.pop_back();if(flag) res+='-';  //flag判断复数reverse(res.begin(),res.end());return res;
}

大数乘法a*b ： a是大数，b位int型小数，逆序a串从低位开始算，进位可能不止一位数

string Mul(string a, int b){//a是大数，b是小数 reverse(a.begin(),a.end()); string res(a.size(),0); int carry=0,tmp;//carry进位// 54321 * 99for(int i=0;i<a.size();i++){tmp = (a[i]-'0') * b + carry;res[i] =(tmp)%10 + '0';if(tmp >9) carry=tmp/10;else carry=0;       }while(carry) {//剩下的进位可能不止一位数res+=carry%10+'0';carry/=10;}reverse(res.begin(),res.end());return res;
}

大数除法a/b ： a是大数，b位int型小数，不再逆序A串，顺序求余数r。

string div(string a, int b){//a是大数，b是小数 string res; int r=0,tmp;//r余数 //1212/6for(int i=0;i<a.size();i++){tmp = (a[i]-'0') + r*10;r = tmp%b;res += tmp/b + '0';  }//去除末尾连续的0reverse(res.begin(),res.end());while(res.back()=='0'&&res.size()>1)res.pop_back();reverse(res.begin(),res.end());cout<<res<<endl<<r;return res;
}

6 常见数学公式总结

错排公式
递推公式为：D(n) = (n - 1) * [D(n - 1) + D(n - 2)]
问题描述：十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

海伦公式
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
公式描述：公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。

组合数公式
c(n,m) = p(n,m)/m! = n!/(n-m)!*m!
公式描述：组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

两点之间的距离公式
|AB|=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
公式描述：公式中(x1，y1)，(x2，y2)分别为A、B两个点的坐标。

扇形面积
S=1/2×弧长×半径，S扇=（n/360）πR²

卡特兰数
卡特兰数的应用实质上都是递归等式的应用
令h(0)=1,h(1)=1,catalan 数满足递归式：
h(n)=h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) ......+h(n-1)*h(0) (其中n>=2)

另类递推公式：h(n)=h(n-1)*h(4*n-2)/(n+!)

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)

前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2^k-1、所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用
1、12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
2、括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
3、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?
4、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、…、n，有多少个不同的出栈序列?
5、通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。
6、所有在n*n格点中不越过对角线的单调路径的个数。
7、有n+1个叶子的二叉树的个数。
更多的变化不胜枚举，遇到这类规律题建议使用下一节的OEIS来解决问题。

7 规律神器OEIS

针对规律题，只要你输入前几项，OEIS就可以给你找出规律来，并且自动给你推出公式。所以对于找规律的题目，你只需要手动计算出前几项的值，或者暴力打表求出前几项的值，然后输入OEIS，他就可以告诉你公式是什么。

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