投资的收益与风险的数学建模

问题的提出

假设市场上有nnn中资产si(i=1,2,...,n)s_i(i=1, 2, ..., n)si(i=1,2,...,n)可以选择，先用数额为MMM的相当大的资金作为一时期的投资，分别给出nnn中资产的平均收益率rir_iri，风险损失率qiq_iqi，手续费pip_ipi和购买额度uiu_iui。其中购买额度指的是我们在购买某一种资产的时候，假设购买的额度小于uiu_iui，那么计算手续费的时候也要按照uiu_iui算。当n=4n=4n=4的时候数据如下表所示。

sis_isi	rir_iri	qiq_iqi	pip_ipi	uiu_iui
s1s_1s1	28	2.5	1	103
s2s_2s2	21	1.5	2	198
s3s_3s3	23	5.6	4.5	52
s1s_1s1	25	2.6	6.5	40

我们假设s0s_0s0是存银行，没有交易费没有风险，且收益率r0=5%r_0=5\%r0=5%

模型分析与建立

总体风险用所投资的sis_isi中的最大的一个风险来衡量，即
max{qixi∣i=1,2,...,n}max \left \{q_ix_i \space | \space i=1,2,...,n\right \}max{qixi ∣ i=1,2,...,n}
购买所付交易费是一个分段函数
交易费={pixi,xi>uipiui,xi⩽ui交易费 = \begin{cases} p_ix_i, & x_i >u_i \\ p_iu_i, & x_i\leqslant u_i \end{cases}交易费={pixi,piui,xi>uixi⩽ui
由于题目给定的uiu_iui相对于投资金额来说很小，所以我们可以将购买sis_isi的净收益简化为 (ri−pi)xi(r_i-p_i)x_i(ri−pi)xi，也就是(收益率−交易手续费)∗本金(收益率-交易手续费)*本金(收益率−交易手续费)∗本金
我们可以将这个问题总结如下
目标函数如下（最大化投资收益并且最小化风险）
{max∑i=0n(ri−pi)ximin{max{qixi}}\begin{cases} max \begin{matrix} \sum_{i=0}^n (r_i-p_i)x_i \end{matrix} \\ min \left \{ max\left \{ q_ix_i \right \} \right \} \end{cases}{max∑i=0n(ri−pi)ximin{max{qixi}}
约束条件为
{∑i=0n(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n\begin{cases} \begin{matrix} \sum_{i=0}^n (1+p_i)x_i=M, \end{matrix} \\ x_i\geq 0, i=0,1,...,n \end{cases}{∑i=0n(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n

模型简化

我们可以给定风险一个界限a，让最大的投资风险为aaa，那么就有qixiM≤a(i=1,2,...,n)\frac{q_ix_i} {M} \leq a(i=1,2,...,n)Mqixi≤a(i=1,2,...,n)，以这个条件来寻找最佳的投资组合
我们可以将收益作为目标函数，以收益最大化为目标，可以将模型简化如下
max∑i=0n(ri−pi)xi,max\sum_{i=0}^n (r_i-p_i)x_i,maxi=0∑n(ri−pi)xi,
{qixiM≤a(i=1,2,...,n)∑i=0n(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n\begin{cases} \frac{q_ix_i} {M} \leq a(i=1,2,...,n) \\ \sum_{i=0}^n(1+p_i)x_i=M, x_i\geq 0, i=0,1,...,n \end{cases}{Mqixi≤a(i=1,2,...,n)∑i=0n(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n

模型求解

我们写出简化后模型的详细表达式
minf=[−0.05,−0.27,−0.19,−0.185,−0.185][x0,x1,x2,x3,x4]T,min \space f=[-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185] [x_0, x_1,x_2,x_3,x_4]^T,min f=[−0.05,−0.27,−0.19,−0.185,−0.185][x0,x1,x2,x3,x4]T,
{xo+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,0.025x1≤a,0.015x2≤a,0.055x3≤a,0.026x4≤a,xi≥0,i=0,1,...,4。\begin{cases} x_o+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=1, \\ 0.025x_1\leq a, \\ 0.015x_2\leq a, \\ 0.055x_3\leq a, \\ 0.026x_4\leq a, \\ x_i\geq 0, i=0,1,...,4。 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧xo+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,0.025x1≤a,0.015x2≤a,0.055x3≤a,0.026x4≤a,xi≥0,i=0,1,...,4。
我们令初始a=0a=0a=0，然后以步长为 Δa=0.001\Delta a=0.001Δa=0.001进行计算

a=0; % a是风险程度
hold on;while a<0.05c=[-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185];% 目标函数的系数A=[zeros(4, 1), diag([0.025, 0.015, 0.055, 0.026])];b=a*ones(4, 1);Aeq=[1, 1.01, 1.02, 1.045, 1.065];% 等式约束条件的系数beq=1;       % 等式约束条件等号右边的值LB=zeros(5, 1);[x, Q] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, LB);Q = -Q;      % 负数最小值等于正的最大值plot(a, Q, '*k');a=a+0.001;   % 以0.001为步长进行计算
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
grid
title('风险与收益关系')

计算结果如下

我们可以看到在a=0.006a=0.006a=0.006时是一个比较特别的点，在它左边斜率大，右边斜率小，所以我们认为将风险控制在0.6%0.6\%0.6%的时候是最佳的投资组合