[数学] 一般正态曲线函数的积分怎么求？为什么总是1？

[数学] 一般正态曲线函数的积分

1、问题说明
2、N∼(1,0)N\sim(1,0)N∼(1,0)的函数积分值
3、N∼(μ,σ2)N\sim(\mu,\sigma^2)N∼(μ,σ2)的函数积分值
4、分析与讨论

1、问题说明

在通信原理的判决门限和数字图像处理的阈值处理中，经常会遇到关于正态函数的积分值讨论。我们知道，标准正态分布N∼(1,0)N\sim(1,0)N∼(1,0)的函数积分值是1，即：

12π∫−∞∞e−x22dx=1\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=12π1∫−∞∞e−2x2dx=1

证明过程如第2部分所示。

对于一般的情形N∼(μ,σ2)N\sim(\mu,\sigma^2)N∼(μ,σ2)，积分的结果又如何呢？这一点我们在第3部分讨论。

2、N∼(1,0)N\sim(1,0)N∼(1,0)的函数积分值

记概率密度函数
f(x)=12πe−x22(1)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}}\tag{1}f(x)=2π1e−2x2(1)

记f(x)f(x)f(x)在(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)上的积分值为
I=∫−∞+∞f(x)dx(2)I=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x \tag{2}I=∫−∞+∞f(x)dx(2)

由于积分值与变量名无关，将 xxx 换为 yyy ，得
I=∫−∞+∞12πe−x22dx=∫−∞+∞12πe−y22dy(3)I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dy\tag{3}I=∫−∞+∞2π1e−2x2dx=∫−∞+∞2π1e−2y2dy(3)

由于 xxx 与 yyy 相互独立，可由(3)得
I2=∫−∞+∞12πe−x22dx×∫−∞+∞12πe−y22dyI^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx \times\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dyI2=∫−∞+∞2π1e−2x2dx×∫−∞+∞2π1e−2y2dy

I2=12π∫−∞+∞∫−∞+∞e−x2+y22dxdy(4)I^2=\frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}+y^2} {2}} dx dy \tag{4}I2=2π1∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy(4)

对 xxx 和 yyy 进行变量替换，
x=rcosθ,y=rsinθx=rcos{\theta},~~~y=rsin{\theta}x=rcosθ, y=rsinθ

根据雅可比行列式计算出变量替换后的微分项：
dxdy=∣∂(x,y)∂(r,θ)∣drdθ=∣∂x∂r∂y∂r∂x∂θ∂y∂θ∣drdθ=∣cos⁡θsin⁡θ−rsin⁡θrcos⁡θ∣drdθ=rdrdθd x d y=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right| d r d \theta=rdrd\thetadxdy=∣∣∣∣∂(r,θ)∂(x,y)∣∣∣∣drdθ=∣∣∣∣∂r∂x∂θ∂x∂r∂y∂θ∂y∣∣∣∣drdθ=∣∣∣∣cosθ−rsinθsinθrcosθ∣∣∣∣drdθ=rdrdθ

则(4)经过变量替换后，得到
I2=12π∫02π∫0∞e−r22rdrdθI^2=\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr d\thetaI2=2π1∫02π∫0∞e−2r2rdrdθ

I2=(12π∫02πdθ)(∫0∞e−r22rdr)I^2=(\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta)( \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr)I2=(2π1∫02πdθ)(∫0∞e−2r2rdr)

I2=12∫0∞e−r22dr2=1I^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} dr^2=1I2=21∫0∞e−2r2dr2=1

又由于显然有 I>0I>0I>0 ，因此可知
I=12π∫−∞∞e−x22dx=1(5)I=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=1 \tag{5}I=2π1∫−∞∞e−2x2dx=1(5)

3、N∼(μ,σ2)N\sim(\mu,\sigma^2)N∼(μ,σ2)的函数积分值

对于一般的正态分布函数
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2(6)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} \tag{6}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2(6)

对 xxx 进行变量替换，用 zzz 表示
z=x−μσ,dx=σdzz = \frac {x-\mu} {\sigma} , ~~~ dx = \sigma dzz=σx−μ, dx=σdz

则该函数的积分值为
I=12πσ∫−∞+∞e−(x−μ)22σ2dx=12πσ∫−∞+∞e−z22σdz=1(7)I = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^{2}} {2}} \sigma dz = 1 \tag{7}I=2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2dx=2πσ1∫−∞+∞e−2z2σdz=1(7)

上式中最后一步利用了(5)中的结果。

4、分析与讨论

可以看出，不管σ\sigmaσ的值为多少，正态分布密度函数在(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)上的积分值都为1，函数f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2中前面系数的分母上的σ\sigmaσ起到了归一化的作用。σ\sigmaσ越大，曲线越矮胖，表示数值的分布越分散，这也与σ\sigmaσ本身的含义一致——标准差。
但是，如果缺少了前面分母中的σ\sigmaσ，则该函数的积分值与σ\sigmaσ成正比。这需要根据具体的应用场景来确定。