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【初中数学】反比例函数策略之一 ——数形结合

反比例函数策略(二)

——构造方程法

(王 桥)

上一次，咱们探讨了解决反比例函数的策略一——数形结合，本节课我们继续反比例函数的策略(二)——构造方程法。

构造方程法，在《春季攻势》第3讲有专门的讲述，咱们今天重点讨论下解决反比例函数的问题时，常用的“构造方程”策略。先看例题：

例1、如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C、D两点在反比例函数y=k/x(x＜0)的图象上，则k等于         .——选自《沙场秋点兵》——反比例函数中的面积问题

解析：欲求k，必求点C或点D的坐标；遇坐标，“做双垂”(是不是咱上回书说到的“数形结合”？)，如图2，作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F——等等，咱干脆构造“类弦图”吧——如图3......

方法一：特值法之——跟着感觉取特值(详见《冲刺十招》之第1招“绝境逢生用特值”)

数学直觉1：△DFA≌△BEC，△DMC≌△BOA；

数学直觉2：△DFA∽△BOA∽△BEC∽△DMC；

因为OA=1，OB=2，BC=2AB，则BE=DF=2OB=4，EC=AF=2OA=2，∴C(-2，6)，D(-3，4)，则k=-12——偷偷的看了标准答案，居然正确！

方法二：构造方程法

如果说上面的“特值法”是属于不走寻常路的“特法”，还让我们有点忐忑不安的话(仅仅是感觉啊？三角形真的全等？相似？——但秒杀的感觉还是很爽的！！！)，咱们用“通法”——构造方程法

见未知，设未知，找等量，造方程！而对于反比例函数来说，根据反比例函数图像上的任意一点，纵横坐标为定值k构造方程可是“通法”啊！

我们先搞定全等问题。

如果您的学生知道“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，这两条边相等或互补”，则易知∠DAF=∠BCE，则根据“AAS”易证△DFA≌△BEC，同理△DMC≌△BOA。

如果这条性质您的学生还不知道，没关系，如图4，延长DA，交y轴于点N，则易证明∠FDA=∠ONA=∠EBC，则易证明△DFA≌△BEC，同理△DMC≌△BOA。

那么，这些三角形是否相似呢？不能再靠“感觉了”！

  见未知，设未知，找等量，造方程！

如图5，不妨设AF=CE=a，DF=BE=b，则点C(-a，b+2)，D(a+1，-b)。

根据反比例函数图像上的任意一点，纵横坐标为定值k构造方程得：-a(b+2)=-b(a+1)，整理得b=2a，则BE:EC=BO:AO，则△BEC∽△BOA。再根据BC=2AB，得相似比为2:1，则a=2，b=4，则C(-2，6)，D(-3，4)，k=-12.

再来一道：

例2、(2010武汉)如图6，直线y=-√3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=k/x在第一象限内交于两点B、C，且AB·AC=4，则k=           。——选自《沙场秋点兵》——反比例函数中的常见模型

解析：这道题目，若按照常规的解法，还是比较麻烦(前几天还有个网友在问这道题目的解法)的。观察到直线y=-√3x+b与y轴交于点A，不妨设直线y=-√3x+b与x轴的交点为D，则易知∠ADO=30°。则OA:OD:AD=1：√3：2。根据《沙场秋点兵》之——“反比例函数中的常见模型”中提到的策略，如图7，则AB=CD(证明略)。

观察到题目中的条件：AB·AC=4，根据“斜化正”的基本策略，分别过点B、C作x轴和y轴的垂线BE、BF，CM、CN。因为AB=CD，则易证△ABF≌△CDM，不妨设CM=NO=AF=a，则BF=OE=MD=√3a，AB=CD=2a。若设FN=BP=b，则PC=b，BC=2b。因为AB·AC=4，即2a·2(a+b)=4a(a+b)=4，∴a(a+b)=1。则k=BF·BE=√3a·(a+b)=√3.

评注：把未知的设出来，根据题目中的条件构造方程——这里指“2a·2(a+b)=4a(a+b)=4”，再根据反比例函数图像上任意一点的纵横坐标的乘积为定值k的事实进行整体代换，这种“设而不求”“整体代换”的策略很耐人寻味。

下面这两道题，咱们下去练练，体会一下“构造方程法”的妙处！系统的“构造方程法”的讲解，请参阅一轮培优教材《春季攻势》第3讲——构造方程法！

1、(2018遵义)如图8，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6/6(x＞0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为(　　)——选自《沙场秋点兵》——反比例函数与特殊的几何图形

A．y=-6/x    B．y=-4/x  C．y=-2/x   D．y=2/x

2、如图9，两个反比例函数y1=k1/x1和y2=k2/x2(其中k₁＞0＞k₂)在第一象限内的图象是C₁，第二、四象限内的图象是C₂，设点P在C₁上，PC⊥x轴于点M，交C₂于点C，PA⊥y轴于点N，交C₂于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为(　　)——选自《沙场秋点兵》——反比例函数中的面积问题

A. |k1﹣k2|      B.k1/ |k2|         C. |k1•k2|      D.K₂²/k₁

3、如图10—1，已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x交于A、B两点，且点A的横坐标为4．(1)求k的值；(2)如图10—2，过原点O的另一条直线l交双曲线y=k/x于C、D两点(点C在第一象限且在点A的左边)，当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．——选自《沙场秋点兵》——反比例函数中的常见模型

【来源】 播睿智数学。

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