什么是黎曼和？什么是定积分？

在初等数学中学习了三角形，四边形，多边形的面积计算：

现在来学习 $\color{Salmon}{曲边梯形}$ 的面积是如何定义的，以及如何计算的：

1 抛物线下的曲边梯形

1.1 问题

之前介绍过，要求 $f(x)=x^2$ ， $x\in[0,a]$ 之间的曲边梯形的面积 $A$ ：

可以把 $[0,a]$ 均分为 $n$ 份，以每一份线段为底，以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形：

当 $n\to\infty$ 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

那么，能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形？

1.2 计算

算一算就知道了。先把 $[0,a]$ 均分成 $n$ 份，每份长为 $\Delta x=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n}$ ，以及各个划分点的坐标如下：

把坐标组成两个集合：

$\{a_i\}=\left\{\frac{0a}{n}, \frac{a}{n}, \frac{2a}{n},\cdots, \frac{(n-1)a}{n}\right\}\quad \{b_i\}=\left\{\frac{a}{n}, \frac{2a}{n},\cdots, \frac{(n-1)a}{n},\frac{na}{n}\right\}$

因此，以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算：

同样的道理，可以得到以右侧的函数值为高的矩形和：

当 $n\to\infty$ 的时候，两者是相等的，它们都是曲边梯形的面积：

$A=\lim_{n\to\infty}A_{Ln}=\lim_{n\to\infty}A_{Rn}=\frac{1}{3}a^3$

2 狄利克雷函数的曲边梯形

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数：

$D(x)=\begin{cases} 1&,x为有理数\\ 0&,x为无理数 \end{cases}$

也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。 $D(x)$ 的图像是没有办法画的，非要画也就是这样的：

假设要求 $[0,1]$ 内的曲边梯形面积，尝试对 $[0,1]$ 进行 $5$ 等分，那么等分点必然为有理数点（下图为了演示方便，调整了下 $xy$ 坐标的比例）：

所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高，以等分区间长度为底作矩形，可以得到：

这些矩形的和必然为1，可以想象进行 $n$ 等分也依然为1，所以有：

$A_{有理}=1$

下面换一种划分方式，以邻近的两个无理数作为端点划分区间，这些区间的端点的函数值必然为0，以区间长度为底，0为高，得到的矩形和为：

$A_{无理}=0$

可见，对于 $D(x)$ 而言，不同的划分区间、不同的高的取法，会导致不同的矩形和：

$A_{有理}\ne A _{无理}$

3 黎曼和

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）是德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况：

抛物线下的曲边梯形
狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考，看到不同划分带来的效果，黎曼先发明了黎曼和，进而定义了曲边梯形的面积，也就是定积分。

3.1 任意划分

$[a,b]$ 不一定需要均分为 $n$ 份，可以任意分割：

很显然用于分割区间的点符合：

$a < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < b$

令 $x_0=a,x_n=b$ ，那么集合：

$P=\{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_{n}\}$

称为 $[a,b]$ 的一个 $\color{Salmon}{划分}$ 。划分 $P$ 定义了 $n$ 个子区间：

$[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots,[x_{k-1}, x_k],\cdots, [x_{n-1}, x_n]$

$[x_0, x_1]$ 称为第 $1$ 个子区间，更一般的 $[x_{k-1},x_k]$ 被称为第 $k$ 个子区间：

第 $k$ 个子区间的长度为 $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ ：

3.2 任意高度

对于某一个划分 $P$ ，在其第 $k$ 个子区间内随便选一个数 $\xi_k$ ：

以 $f(\xi_k)$ 作为矩形的高：

那么矩形的高度也可以是任意的：

3.3 黎曼和

根据刚才的讲解，可以得到如下定义：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，在 $[a,b]$ 上任意插入若干个分点：

$a = x_0 < x_1 < x_2\cdots < x_n = b$

这些分点的集合：

$P=\{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_{n}\}$

称为 $[a,b]$ 的一个 $\color{Salmon}{划分}$ 。划分 $P$ 定义了 $n$ 个子区间：

$[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots, [x_{n-1}, x_n]$

它们的长度依次为：

$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$

在每个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上任取选取一个数 $\xi_k$ ，以 $[x_{k-1},x_k]$ 为底， $f(\xi_i)$ 为高构造矩形，这些矩形的和：

$A_n=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k$

称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 $\color{Salmon}{黎曼和}$ 。

之前计算的 $A_L$ 、 $A_R$ 是黎曼和：

狄利克雷函数中划分出来的矩形和 $A_{有理}$ 、 $A_{无理}$ 也是黎曼和。

4 定积分

随着 $[a,b]$ 的划分不断变细，所有子区间的长度趋于0时，黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积：

这个过程的严格化如下：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，对于 $[a,b]$ 上的任意划分 $P$ ， $\xi_k$ 为子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上任意选取的数，子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 的长度为 $\Delta x_k$ ，记：

$\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}$

如果下述极限存在：

$I=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k$

则称 $\color{Salmon}{被积函数}f(x)$ 在 $\color{Salmon}{积分区间}[a,b]$ 上 $\color{Salmon}{可积}$ ， $a$ 为 $\color{Salmon}{积分下限}$ ， $b$ 为 $\color{Salmon}{积分上限}$ ， $I$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 $\color{Salmon}{定积分}$ ， $x$ 为 $\color{Salmon}{积分变量}$ ，可以标记如下：

$I=\int_{a}^{b}f(x)dx$

回到之前讨论的问题：

抛物线下的曲边梯形： $A_{Ln}=A_{Rn}$ ，以及各种划分都相等，所以 $I$ 存在，可积
狄利克雷函数下的曲边梯形： $A_{有理}\ne A_{无理}$ ，所以 $I$ 不存在，不可积

这里新引入的积分符号是莱布尼兹创造的：

$S\quad\xrightarrow{\quad拉长\quad}\quad \int$

其中， $S$ 代表英文中的求和（“sum”），拉长的 $\int$ 则表明积分是和的极限（“limits of sums”）。这个符号相当精练，可以表达非常丰富的信息：

最新版本（可能有不定期更新）：黎曼和与定积分

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