泛函分析 01.02 距离空间-基本概念

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 14: \color{blue}{\̲S̲ ̲1.1 距离空间的基本概念}

1.1.1距离空间的定义\color{blue}{1.1.1 距离空间的定义}1.1.1距离空间的定义

在高等数学中引进的最重要的概念就是极限.
定义在R上的函数的许多重要性质是由极限来刻画的.
连续、微分、积分、无穷级数都是由极限定义的.
极限是研究函数的重要工具.
把极限这一概念“类比”地推广到更一般的空间.
所谓空间–是指集合加上一定的“结构”.
$一维空间:数列的极限, x_n \to x(n \to \infty), 如果对于 \forall \varepsilon > 0, \\
\exists 正整数 N, 当n \geq N时, 有 |x_n - x| < \varepsilon, \\
则称数列 x_n \to x (n \to \infty).在这里|x_n - x| 是x_n 和 x 之间的距离 d(x_n, x).\\
即:当n充分大时, x_n 和 x之间的距离 d(x_n, x)可以任意小, 则称数列 x_n \to x(n \to \infty). $

二维情况:我们可以类似地定义点列的极限.二维情况:我们可以类似地定义点列的极限.二维情况:我们可以类似地定义点列的极限.
所不同的是xn和x之间的距离是平面上两点之间的距离.所不同的是x_n和x之间的距离是平面上两点之间的距离.所不同的是xn和x之间的距离是平面上两点之间的距离.
点列xn=(ξn,ηn)→x=(ξ,η)(n→∞)的定义:点列x_n = (\xi_n, \eta_n) \to x = (\xi, \eta)(n \to \infty)的定义:点列xn=(ξn,ηn)→x=(ξ,η)(n→∞)的定义:
如果对于∀ε>0,∃正整数N,当n≥N时,有如果对于\forall \varepsilon > 0, \exists 正整数N, 当n \geq N时, 有如果对于∀ε>0,∃正整数N,当n≥N时,有
$d(x_n, x) = \sqrt{(\xi_n - \xi)^2 + (\eta_n - \eta)^2 } < \varepsilon, $
则称点列xn=(ξn,ηn)→x=(ξ,η)(n→∞).则称点列 x_n = (\xi_n, \eta_n) \to x = (\xi, \eta)(n \to \infty).则称点列xn=(ξn,ηn)→x=(ξ,η)(n→∞).
所不同的只是距离d(xn,x)的具体表示形式.所不同的只是距离d(x_n, x)的具体表示形式.所不同的只是距离d(xn,x)的具体表示形式.
在泛函分析中，我们将研究更一般的“空间”以及在这些“空间”上定义的“函数”、“映射”,进一步讨论与它们相关的极限和运算.在泛函分析中，我们将研究更一般的“空间”以及在这些“空间”上定义的\\\\ “函数”、“映射”, 进一步讨论与它们相关的极限和运算.在泛函分析中，我们将研究更一般的“空间”以及在这些“空间”上定义的“函数”、“映射”,进一步讨论与它们相关的极限和运算.
要在一般的“空间”中建立极限的概念，我们需要再引入“距离”的概念.要在一般的“空间”中建立极限的概念，我们需要再引入“距离”的概念.要在一般的“空间”中建立极限的概念，我们需要再引入“距离”的概念.
即在一个集合上定义两点之间的“距离”，使之成为我们下面所说的“距离空间”.即在一个集合上定义两点之间的“距离”，使之成为我们下面所说的“距离空间”.即在一个集合上定义两点之间的“距离”，使之成为我们下面所说的“距离空间”.
有了距离，我们就可以定义相应的极限.引入极限这一概念(运算),进而可以研究一般“空间”中的元素(函数、算子)的性质.有了距离，我们就可以定义相应的极限.引入极限这一概念(运算),\\\\ 进而可以研究一般“空间”中的元素(函数、算子)的性质.有了距离，我们就可以定义相应的极限.引入极限这一概念(运算),进而可以研究一般“空间”中的元素(函数、算子)的性质.

本节的内容：本节的内容：本节的内容：
(1)距离空间的定义;(1) 距离空间的定义;(1)距离空间的定义;
(2)距离空间的例子;(2)距离空间的例子;(2)距离空间的例子;
(3)距离空间中的收敛性.(3)距离空间中的收敛性.(3)距离空间中的收敛性.
如何定义距离?即如何抽象出极限的本质特征？如何定义距离?即如何抽象出极限的本质特征？如何定义距离?即如何抽象出极限的本质特征？
设x,y是平面上两点:x=(x1,x2),y=(y1,y2).设x, y是平面上两点:x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2).设x,y是平面上两点:x=(x1,x2),y=(y1,y2).
两点间的距离为:d(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2.两点间的距离为: d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}.两点间的距离为:d(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2.
它满足:它满足:它满足:
1.距离是非负的:d(x,y)≥0;2.距离是严格正的:d(x,y)=0,当且仅当x=y;3.距离是对称的:d(y,x)=d(x,y);4.距离满足三角不等式(两边之和大于第三边):d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).我们把具有这些性质的从平面上的点到实数的二元映射(X×X→R)定义为距离.\color{blue}{1.距离是非负的:d(x, y) \geq 0; \\\\ 2.距离是严格正的:d(x, y) = 0,当且仅当 x = y; \\\\ 3.距离是对称的:d(y, x) = d(x, y); \\\\ 4.距离满足三角不等式(两边之和大于第三边):d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y). \\\\ 我们把具有这些性质的从平面上的点到实数的二元映射(X \times X \to R)定义为距离.}1.距离是非负的:d(x,y)≥0;2.距离是严格正的:d(x,y)=0,当且仅当x=y;3.距离是对称的:d(y,x)=d(x,y);4.距离满足三角不等式(两边之和大于第三边):d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).我们把具有这些性质的从平面上的点到实数的二元映射(X×X→R)定义为距离.

定义1.1.1(距离空间定义)设X是任意非空集合,对于X中的任何点x,y,均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足:定义1.1.1(距离空间定义)设X是任意非空集合,对于X中的任何点x,y,\\\\ 均有一个实数d(x, y)与它对应,且满足:定义1.1.1(距离空间定义)设X是任意非空集合,对于X中的任何点x,y,均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足:
(1)d(x,y)≥0(非负性);(1) d(x, y) \geq 0 (非负性);(1)d(x,y)≥0(非负性);
(2)d(x,y)=0,当且仅当x=y(严格正);(2) d(x, y) = 0, 当且仅当 x = y (严格正);(2)d(x,y)=0,当且仅当x=y(严格正);
(3)d(y,x)=d(x,y)(对称性);(3) d(y, x) = d(x, y) (对称性);(3)d(y,x)=d(x,y)(对称性);
(4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式).(4) d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) (三角不等式).(4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式).
则称d(x,y)为X中的一个距离.则称 d(x, y)为X中的一个距离.则称d(x,y)为X中的一个距离.
定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),简记为X.定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X, d),简记为X.定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),简记为X.
注1:在距离的定义中,保留了实数空间(或者说平面和n维空间)中距离的最基本性质.注1:在距离的定义中,保留了实数空间(或者说平面和n维空间)中距离的最基本性质.注1:在距离的定义中,保留了实数空间(或者说平面和n维空间)中距离的最基本性质.
从一些具体实例中抽象出问题的本质特征,加以概括,给出在一般意义下的定义,使之能够运用于更加广阔的范围,是数学研究中的重要方法.从一些具体实例中抽象出问题的本质特征,加以概括,给出在一般意义下的定义,\\\\ 使之能够运用于更加广阔的范围,是数学研究中的重要方法.从一些具体实例中抽象出问题的本质特征,加以概括,给出在一般意义下的定义,使之能够运用于更加广阔的范围,是数学研究中的重要方法.
注2:性质(1)−(4)称为是距离公理,其中性质(4)来源于三角形中的两边之和大于第三边.见图1.1.1注2:性质(1)-(4)称为是距离公理,其中性质(4)来源于三角形中的两边之和大于第三边.\\\\ 见图1.1.1注2:性质(1)−(4)称为是距离公理,其中性质(4)来源于三角形中的两边之和大于第三边.见图1.1.1

注3：运用数学归纳法，可把三角不等式推广为:注3：运用数学归纳法，可把三角不等式推广为:注3：运用数学归纳法，可把三角不等式推广为:
d(x1,xn)≤d(x1,x2)+d(x2,x3)+⋯+d(xn−1,xn).d(x_1, x_n) \leq d(x_1, x_2) + d(x_2, x_3) + \cdots + d(x_{n-1}, x_n).d(x1,xn)≤d(x1,x2)+d(x2,x3)+⋯+d(xn−1,xn).
注4：设(X,d)是一个距离空间,由三角不等式可证，对于任意x,y,z∈X,有注4：设(X, d)是一个距离空间,由三角不等式可证，对于任意x, y, z \in X, 有注4：设(X,d)是一个距离空间,由三角不等式可证，对于任意x,y,z∈X,有
∣d(x,y)−d(y,z)∣≤d(x,z)|d(x, y) - d(y, z)| \leq d(x, z)∣d(x,y)−d(y,z)∣≤d(x,z)
即：两边之差小于第三边.

d(x,z)+d(y,z)≥d(x,y)⇒d(x,y)−d(y,z)≤d(x,z);d(x, z) + d(y, z) \geq d(x, y) \Rightarrow d(x, y) - d(y, z) \leq d(x, z);d(x,z)+d(y,z)≥d(x,y)⇒d(x,y)−d(y,z)≤d(x,z);
d(x,z)+d(x,y)≥d(y,z)⇒d(y,z)−d(x,y)≤d(x,z);d(x, z) + d(x, y) \geq d(y, z) \Rightarrow d(y, z) - d(x, y) \leq d(x, z);d(x,z)+d(x,y)≥d(y,z)⇒d(y,z)−d(x,y)≤d(x,z);

1.1.2距离空间的例\color{blue}{1.1.2 距离空间的例}1.1.2距离空间的例

例1.1.2在n维实向量空间Rn中,定义d(x,y)=(∑k=1n(ξk−ηk)2)12,(1.1.1)例1.1.2 在n维实向量空间R^n中,定义 d(x, y) = (\sum \limits_{k=1}^{n}(\xi_k - \eta_k)^2)^{\frac{1}{2}}, \quad (1.1.1)例1.1.2在n维实向量空间Rn中,定义d(x,y)=(k=1∑n(ξk−ηk)2)21,(1.1.1)
其中x=(ξ1,⋯,ξn),y=(η1,⋯,ηn).则(Rn,d)是一个距离空间.其中x = (\xi_1, \cdots, \xi_n), y = (\eta_1, \cdots, \eta_n).则(R^n, d)是一个距离空间.其中x=(ξ1,⋯,ξn),y=(η1,⋯,ηn).则(Rn,d)是一个距离空间.
分析：要证明(Rn,d)是一个距离空间，根据距离空间的定义，即要证明在Rn中定义的距离(1.1.1)式满足“定义1.1.1”中的条件(1)−(4).分析：要证明(R^n, d)是一个距离空间，根据距离空间的定义，即要证明在R^n\\\\ 中定义的距离(1.1.1)式满足“定义1.1.1”中的条件(1)-(4).分析：要证明(Rn,d)是一个距离空间，根据距离空间的定义，即要证明在Rn中定义的距离(1.1.1)式满足“定义1.1.1”中的条件(1)−(4).
前三条(非负、正定、对称)显然成立。只需证明(4)(三角不等式)成立,证明主要利用Cauchy不等式.前三条(非负、正定、对称)显然成立。只需证明(4)(三角不等式)成立,\\\\ 证明主要利用Cauchy不等式.前三条(非负、正定、对称)显然成立。只需证明(4)(三角不等式)成立,证明主要利用Cauchy不等式.
证明:(1)−(3)显然成立,下面验证(4)成立.由Cauchy不等式∑k=1nakbk≤(∑k=1nak2)12(∑k=1nbk2)12,可推出:(∑k=1n(ak+bk)2)12≤(∑k=1nak2)12+(∑k=1nbk2)12(1.1.2)证明:(1)-(3)显然成立,下面验证(4)成立.\\\\ 由Cauchy不等式 \sum \limits_{k=1}^{n} a_k b_k \leq (\sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2)^{\frac{1}{2}} (\sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2)^{\frac{1}{2}},\\\\ 可推出: (\sum \limits_{k=1}^{n}(a_k + b_k)^2)^{\frac{1}{2}} \leq (\sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2)^{\frac{1}{2}} + (\sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2)^{\frac{1}{2}} \quad (1.1.2)证明:(1)−(3)显然成立,下面验证(4)成立.由Cauchy不等式k=1∑nakbk≤(k=1∑nak2)21(k=1∑nbk2)21,可推出:(k=1∑n(ak+bk)2)21≤(k=1∑nak2)21+(k=1∑nbk2)21(1.1.2)
事实上，事实上，事实上，
∑k=1n(ak+bk)2=∑k=1nak2+2∑k=1nakbk+∑k=1nbk2\sum \limits_{k=1}^{n}(a_k + b_k)^2 = \sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2 + 2 \sum \limits_{k=1}^{n} a_k b_k + \sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2k=1∑n(ak+bk)2=k=1∑nak2+2k=1∑nakbk+k=1∑nbk2
≤∑k=1nak2+2[(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)]12+∑k=1nbk2\leq \sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2 + 2 [(\sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2)(\sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2)]^{\frac{1}{2}} + \sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2≤k=1∑nak2+2[(k=1∑nak2)(k=1∑nbk2)]21+k=1∑nbk2
=[(∑k=1nak2)12+(∑k=1nbk2)12]2=[(\sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2)^{\frac{1}{2}} + (\sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2)^{\frac{1}{2}}]^2=[(k=1∑nak2)21+(k=1∑nbk2)21]2
设x=(ξ1,⋯,ξn),y=(η1,⋯,ηn),z=(ζ1,⋯,ζn)是Rn中的任意三点.设x = (\xi_1, \cdots, \xi_n), y = (\eta_1, \cdots, \eta_n), z = (\zeta_1, \cdots, \zeta_n)是R^n中的任意三点.设x=(ξ1,⋯,ξn),y=(η1,⋯,ηn),z=(ζ1,⋯,ζn)是Rn中的任意三点.
在不等式(1.1.2)(∑k=1n(ak+bk)2)12≤(∑k=1nak2)12+(∑k=1nbk2)12中,在不等式(1.1.2) (\sum \limits_{k=1}^{n}(a_k + b_k)^2)^{\frac{1}{2}} \leq (\sum \limits_{k=1}^{n} a_k^2)^{\frac{1}{2}} + (\sum \limits_{k=1}^{n} b_k^2)^{\frac{1}{2}}中,在不等式(1.1.2)(k=1∑n(ak+bk)2)21≤(k=1∑nak2)21+(k=1∑nbk2)21中,
令ak=(ξk−ζk),bk=(ζk−ηk),则令a_k = (\xi_k - \zeta_k), b_k = (\zeta_k - \eta_k), 则令ak=(ξk−ζk),bk=(ζk−ηk),则
[∑k=1n(ξk−ηk)2]12≤[∑k=1n(ξk−ζk)2]12+[∑k=1n(ζk−ηk)2]12[\sum \limits_{k=1}^{n}(\xi_k - \eta_k)^2]^{\frac{1}{2}} \leq [\sum \limits_{k=1}^{n}(\xi_k - \zeta_k)^2]^{\frac{1}{2}} + [\sum \limits_{k=1}^{n}(\zeta_k - \eta_k)^2]^{\frac{1}{2}}[k=1∑n(ξk−ηk)2]21≤[k=1∑n(ξk−ζk)2]21+[k=1∑n(ζk−ηk)2]21
即d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)即 d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)即d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
所以(Rn,d)是一个距离空间,简记为Rn.所以(R^n, d)是一个距离空间,简记为R^n.所以(Rn,d)是一个距离空间,简记为Rn.
注1：在n维复向量空间Cn中,可类似地定义距离注1：在n维复向量空间 C^n 中,可类似地定义距离注1：在n维复向量空间Cn中,可类似地定义距离
d(x,y)=(∑k=1n∣ξk−ηk∣2)12\qquad d(x, y) = (\sum \limits_{k=1}^{n} |\xi_k - \eta_k|^2)^{\frac{1}{2}}d(x,y)=(k=1∑n∣ξk−ηk∣2)21
注2：在一个集合上可以定义不同的距离，从而得到不同的距离空间.注2：在一个集合上可以定义不同的距离，从而得到不同的距离空间.注2：在一个集合上可以定义不同的距离，从而得到不同的距离空间.

例1.1.3在Rn中,可分别定义例1.1.3 在R^n中,可分别定义例1.1.3在Rn中,可分别定义
d1(x,y)=∑k=1n∣ξk−ηk∣,(1.1.3)\qquad d_1(x, y) = \sum \limits_{k=1}^{n} | \xi_k - \eta_k |, \quad (1.1.3)d1(x,y)=k=1∑n∣ξk−ηk∣,(1.1.3)
d∞(x,y)=max⁡{∣ξ1−η1∣,⋯,∣ξn−ηn∣},(1.1.4)\qquad d_{\infty}(x, y) = \max \lbrace |\xi_1 - \eta_1 |, \cdots, |\xi_n - \eta_n| \rbrace, \quad (1.1.4)d∞(x,y)=max{∣ξ1−η1∣,⋯,∣ξn−ηn∣},(1.1.4)
由实数的三角不等式，容易验证(Rn,d1),(Rn,d∞)都是距离空间.由实数的三角不等式，容易验证(R^n, d_1), (R^n, d_{\infty})都是距离空间.由实数的三角不等式，容易验证(Rn,d1),(Rn,d∞)都是距离空间.

例1.1.4序列空间l∞.例1.1.4 序列空间l^{\infty}.例1.1.4序列空间l∞.
令l∞={x=(ξj)∣∣ξj∣≤cx},令 l^{\infty} = \lbrace x = (\xi_j) | |\xi_j| \leq c_x \rbrace,令l∞={x=(ξj)∣∣ξj∣≤cx},
其中cx与j无关，即l∞是全体有界的数列.在l∞中定义其中c_x与j无关，即l^{\infty}是全体有界的数列.在l^{\infty}中定义其中cx与j无关，即l∞是全体有界的数列.在l∞中定义
d(x,y)=sup⁡j∈N{∣ξj−ηj∣},(1.1.5)\qquad d(x, y) = \sup \limits_{j \in N} \lbrace |\xi_j - \eta_j | \rbrace, \quad (1.1.5)d(x,y)=j∈Nsup{∣ξj−ηj∣},(1.1.5)
$其中,x = (\xi_j), y = (\eta_j) \in l^{\infty}并且 N = \lbrace 1, 2, \cdots \rbrace, $
验证l∞是一个距离空间验证 l^{\infty}是一个距离空间验证l∞是一个距离空间
注意:由于数列是有界的，(1.1.5)式中的上确界存在.注意:由于数列是有界的，(1.1.5)式中的上确界存在.注意:由于数列是有界的，(1.1.5)式中的上确界存在.
注:l∞可看作是Cn由(1.1.4)式定义的距离d∞(x,y)产生的注:l^{\infty}可看作是C^n由(1.1.4)式定义的距离d_{\infty}(x, y)产生的注:l∞可看作是Cn由(1.1.4)式定义的距离d∞(x,y)产生的
距离空间(Cn,d∞)的推广,由于是无穷序列,max⁡被sup⁡所代替.距离空间(C^n, d_{\infty})的推广,由于是无穷序列, \max 被 \sup 所代替.距离空间(Cn,d∞)的推广,由于是无穷序列,max被sup所代替.

例1.1.5连续函数空间C[a,b].例1.1.5 连续函数空间C[a, b].例1.1.5连续函数空间C[a,b].
考虑闭区间[a,b]上全体连续函数，定义考虑闭区间[a, b]上全体连续函数，定义考虑闭区间[a,b]上全体连续函数，定义
d(x,y)=max⁡a≤t≤b∣x(t)−y(t)∣,(1.1.6)\qquad d(x, y) = \max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) - y(t) |, \quad (1.1.6)d(x,y)=a≤t≤bmax∣x(t)−y(t)∣,(1.1.6)
其中x(t),y(t)是[a,b]上的任意两个连续函数,则C[a,b]是一个距离空间.其中x(t), y(t)是[a, b]上的任意两个连续函数,则C[a, b]是一个距离空间.其中x(t),y(t)是[a,b]上的任意两个连续函数,则C[a,b]是一个距离空间.
分析:要证明在由闭区间[a,b]上全体连续函数组成的集合上定义的距离(1.1.6)式满足定义1.1.1的(1)−(4).分析:要证明在由闭区间[a, b]上全体连续函数组成的集合上定义的\\\\ 距离(1.1.6)式满足定义1.1.1的(1)-(4).分析:要证明在由闭区间[a,b]上全体连续函数组成的集合上定义的距离(1.1.6)式满足定义1.1.1的(1)−(4).
证明距离定义中的(1)−(3)(非负、正定、对称)显然成立.下面证明(4)成立.证明距离定义中的(1)-(3)(非负、正定、对称)显然成立.下面证明(4)成立.证明距离定义中的(1)−(3)(非负、正定、对称)显然成立.下面证明(4)成立.
设x(t),y(t),z(t)是[a,b]上任意三个连续函数,设x(t), y(t),z(t)是[a, b]上任意三个连续函数,设x(t),y(t),z(t)是[a,b]上任意三个连续函数,
要证d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),即要证:要证 d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y),即要证:要证d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),即要证:
$\max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) - y(t) | \leq \max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) - z(t) | + \max \limits_{a \leq t \leq b} | z(t) - y(t) | $
由绝对值三角不等式，对∀t∈[a,b],由绝对值三角不等式，对 \forall t \in [a, b],由绝对值三角不等式，对∀t∈[a,b],
∣x(t)−y(t)∣≤∣x(t)−z(t)∣+∣z(t)−y(t)∣|x(t) - y(t)| \leq |x(t) - z(t)| + |z(t) - y(t)|∣x(t)−y(t)∣≤∣x(t)−z(t)∣+∣z(t)−y(t)∣
≤max⁡a≤t≤b∣x(t)−z(t)∣+max⁡a≤t≤b∣z(t)−y(t)∣\leq \max \limits_{a \leq t \leq b} |x(t) - z(t)| + \max \limits_{a \leq t \leq b} |z(t) - y(t)|≤a≤t≤bmax∣x(t)−z(t)∣+a≤t≤bmax∣z(t)−y(t)∣
=d(x,z)+d(z,y)= d(x, z) + d(z, y)=d(x,z)+d(z,y)
所以d(x,y)=max⁡a≤t≤b∣x(t)−y(t)∣≤d(x,z)+d(z,y)所以 d(x, y) = \max \limits_{a \leq t \leq b}|x(t) - y(t)| \leq d(x, z) + d(z, y)所以d(x,y)=a≤t≤bmax∣x(t)−y(t)∣≤d(x,z)+d(z,y)
于是[a,b]上的全体连续函数赋以上述距离称为一个距离空间，记为C[a,b].于是[a, b]上的全体连续函数赋以上述距离称为一个距离空间，记为C[a, b].于是[a,b]上的全体连续函数赋以上述距离称为一个距离空间，记为C[a,b].

例1.1.6在由闭区间[a,b]上定义的全体连续函数组成的集合上,还可以定义例1.1.6 在由闭区间[a, b] 上定义的全体连续函数组成的集合上,还可以定义例1.1.6在由闭区间[a,b]上定义的全体连续函数组成的集合上,还可以定义
d(x,y)=∫ab∣x(t)−y(t)∣dt(1.1.7)\qquad d(x, y) = \int_a^b |x(t) - y(t)| dt \quad (1.1.7)d(x,y)=∫ab∣x(t)−y(t)∣dt(1.1.7)
形成一个新的距离空间.形成一个新的距离空间.形成一个新的距离空间.
它与C[a,b]空间有很大不同.它与C[a, b]空间有很大不同.它与C[a,b]空间有很大不同.

例1.1.7在由[a,b]区间上全体连续函数组成的集合上,我们还可以定义例1.1.7 在由[a, b]区间上全体连续函数组成的集合上,我们还可以定义例1.1.7在由[a,b]区间上全体连续函数组成的集合上,我们还可以定义
d(x,y)={∫ab∣x(t)−y(t)∣2dt}12(1.1.8)\qquad d(x, y) = \lbrace \int_a^b |x(t) - y(t) |^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} \quad (1.1.8)d(x,y)={∫ab∣x(t)−y(t)∣2dt}21(1.1.8)
可以证明它也是一个距离空间(证明见第二章2.2.3节)可以证明它也是一个距离空间(证明见第二章 2.2.3 节)可以证明它也是一个距离空间(证明见第二章2.2.3节)
在第三章可以看到，它是由内积产生的距离，是一个十分重要的距离.在第三章可以看到，它是由内积产生的距离，是一个十分重要的距离.在第三章可以看到，它是由内积产生的距离，是一个十分重要的距离.
注：在一个集合上，可以引进多种距离。要根据研究问题的不同，定义不同的距离.注：在一个集合上，可以引进多种距离。要根据研究问题的不同，定义不同的距离.注：在一个集合上，可以引进多种距离。要根据研究问题的不同，定义不同的距离.
以后我们可以看到，有的距离下空间完备；有的距离下空间不完备.以后我们可以看到，有的距离下空间完备；有的距离下空间不完备.以后我们可以看到，有的距离下空间完备；有的距离下空间不完备.
空间的完备性是很重要的，有了完备性，极限运算(微分和积分)才能很好的进行.空间的完备性是很重要的，有了完备性，极限运算(微分和积分)才能很好的进行.空间的完备性是很重要的，有了完备性，极限运算(微分和积分)才能很好的进行.
不同的距离导出的收敛性不同.不同的距离导出的收敛性不同.不同的距离导出的收敛性不同.
距离空间中距离的选择是十分重要的.距离空间中距离的选择是十分重要的.距离空间中距离的选择是十分重要的.
具体定义什么样的距离，要根据不同的问题，设定不同的目标，引进不同的距离.具体定义什么样的距离，要根据不同的问题，设定不同的目标，引进不同的距离.具体定义什么样的距离，要根据不同的问题，设定不同的目标，引进不同的距离.

例1.1.8设B为全体由整数组成的元素序列,例1.1.8 设B为全体由整数组成的元素序列,例1.1.8设B为全体由整数组成的元素序列,
即B={n=(n1,n2,⋯)∣ni∈N},定义即 B = \lbrace n = (n_1, n_2, \cdots) | n_i \in N \rbrace, 定义即B={n=(n1,n2,⋯)∣ni∈N},定义
d(n,m)={0,如果ni=mi,i=1,2,⋯,1k,k是ni≠mi头一个指标,\qquad d(n, m) = \left \lbrace \begin{array}{l} 0, 如果n_i = m_i, i = 1, 2, \cdots, \\ \dfrac{1}{k}, k 是n_i \neq m_i头一个指标, \end{array} \right.d(n,m)={0,如果ni=mi,i=1,2,⋯,k1,k是ni=mi头一个指标,
其中m=(m1,m2,⋯).可以验证(B,d)是一个距离空间,其中m = (m_1, m_2, \cdots).可以验证(B, d)是一个距离空间,其中m=(m1,m2,⋯).可以验证(B,d)是一个距离空间,
且这个距离满足“更强”的三角不等式,即对于∀n,m,h∈B,有且这个距离满足“更强”的三角不等式,即对于 \forall n, m, h \in B, 有且这个距离满足“更强”的三角不等式,即对于∀n,m,h∈B,有
d(n,m)≤max⁡{d(n,h),d(h,m)}(1.1.9)\qquad d(n, m) \leq \max \lbrace d(n,h), d(h, m) \rbrace \quad (1.1.9)d(n,m)≤max{d(n,h),d(h,m)}(1.1.9)
事实上，只要注意到n,h和h,m头一个不相等项的指标一定小于或者等于n,m头一个不相等项的指标，则有(1.1.9)式成立.事实上，只要注意到n, h 和 h, m 头一个不相等项的指标一定小于或者\\\\ 等于n, m 头一个不相等项的指标，则有(1.1.9)式成立.事实上，只要注意到n,h和h,m头一个不相等项的指标一定小于或者等于n,m头一个不相等项的指标，则有(1.1.9)式成立.
这一距离，是从下述数学模型中抽象出来的.这一距离，是从下述数学模型中抽象出来的.这一距离，是从下述数学模型中抽象出来的.
假设s(t)是一个通过某一通讯系统送出的信号，且s(t):假设s(t)是一个通过某一通讯系统送出的信号，且s(t):假设s(t)是一个通过某一通讯系统送出的信号，且s(t):
①每秒取样一次,②在单位时间看作常量,③信号码都编译成整数.①每秒取样一次,②在单位时间看作常量,③信号码都编译成整数.①每秒取样一次,②在单位时间看作常量,③信号码都编译成整数.
如图1.1.2所示:如图1.1.2所示:如图1.1.2所示:

在图1.1.2中表示整数的信号是ns={0,1,3,5,6,7,7,8,8,7,⋯}.在图1.1.2中表示整数的信号是 n_s = \lbrace 0, 1, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 7, \cdots \rbrace.在图1.1.2中表示整数的信号是ns={0,1,3,5,6,7,7,8,8,7,⋯}.
由于系统和环境的扰动，收到的信号可能会发生误差.假设收到的信号是由于系统和环境的扰动，收到的信号可能会发生误差.假设收到的信号是由于系统和环境的扰动，收到的信号可能会发生误差.假设收到的信号是
$\qquad n_r = \lbrace n_{r_1}, n_{r_2}, \cdots \rbrace, $
则我们可以通过送出和收到的信号的距离d(ns,nr)来刻画多长时间某一个误差发生,则我们可以通过送出和收到的信号的距离 d(n_s, n_r) 来刻画多长时间某一个误差发生,则我们可以通过送出和收到的信号的距离d(ns,nr)来刻画多长时间某一个误差发生,
即d(ns,nr)越小,则通信系统不发生误差运行的时间越长.即d(n_s, n_r)越小,则通信系统不发生误差运行的时间越长.即d(ns,nr)越小,则通信系统不发生误差运行的时间越长.

例1.1.9X是一个非空集合,x,y∈X,定义例1.1.9 X是一个非空集合, x, y \in X, 定义例1.1.9X是一个非空集合,x,y∈X,定义
d(x,y)={1,x≠y,0,x=y(1.1.10)\qquad d(x, y) = \left \lbrace \begin{array}{l}1, x \neq y, \\ 0, x = y \end{array} \right. \quad (1.1.10)d(x,y)={1,x=y,0,x=y(1.1.10)
容易验证d是一个距离,(X,d)是一个距离空间,称为离散的距离空间,记为D.容易验证d是一个距离, (X, d)是一个距离空间,称为离散的距离空间,记为D.容易验证d是一个距离,(X,d)是一个距离空间,称为离散的距离空间,记为D.
注:许多距离空间是在线性空间上定义的.注:许多距离空间是在线性空间上定义的.注:许多距离空间是在线性空间上定义的.
在线性空间X中,加法，数乘运算是封闭的.在线性空间X中,加法，数乘运算是封闭的.在线性空间X中,加法，数乘运算是封闭的.
例如Rn,C[a,b],s都是线性空间.例如R^n, C[a, b], s 都是线性空间.例如Rn,C[a,b],s都是线性空间.
但例1.1.9中定义的离散距离D不一定是线性空间.但例1.1.9中定义的离散距离D不一定是线性空间.但例1.1.9中定义的离散距离D不一定是线性空间.

1.1.3距离空间中的收敛\color{blue}{1.1.3 距离空间中的收敛}1.1.3距离空间中的收敛

在空间中定义了距离后,我们就可以在距离空间中引入极限的概念.在空间中定义了距离后,我们就可以在距离空间中引入极限的概念.在空间中定义了距离后,我们就可以在距离空间中引入极限的概念.
这是我们的重要目的之一.这是我们的重要目的之一.这是我们的重要目的之一.

$定义1.1.10 设(X, d)是一个距离空间, \lbrace x_n \rbrace \subset X, x_0 \in X, $
如果当n→∞时,d(xn,x0)→0,则称{xn}以x0为极限,如果当 n \to \infty 时, d(x_n, x_0) \to 0, 则称 \lbrace x_n \rbrace 以 x_0 为极限,如果当n→∞时,d(xn,x0)→0,则称{xn}以x0为极限,
或说{xn}收敛到x0,记为或说 \lbrace x_n \rbrace 收敛到x_0, 记为或说{xn}收敛到x0,记为
xn→x0(n→∞),或者lim⁡n→∞xn=x0\qquad x_n \to x_0 (n \to \infty), 或者 \lim \limits_{n \to \infty} x_n = x_0xn→x0(n→∞),或者n→∞limxn=x0
注1:x0必须属于(X,d).注1: x_0 必须属于 (X, d).注1:x0必须属于(X,d).
注2:X是距离空间,其中d(xn,x0)→0(n→∞)是数列趋近于零.注2: X是距离空间,其中d(x_n, x_0) \to 0 (n \to \infty) 是数列趋近于零.注2:X是距离空间,其中d(xn,x0)→0(n→∞)是数列趋近于零.
注3:对于lim⁡n→∞xn=x0,用ε−N语言表述为:注3: 对于\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x_0, 用 \varepsilon - N 语言表述为:注3:对于n→∞limxn=x0,用ε−N语言表述为:
∀ε>0,∃N,当n≥N时,有d(xn,x0)<ε\qquad \forall \varepsilon > 0, \exists N, 当 n \geq N时, 有 d(x_n, x_0) < \varepsilon∀ε>0,∃N,当n≥N时,有d(xn,x0)<ε

距离空间中收敛点列的性质:
定理1.1.11{xn}在X中收敛，则定理1.1.11 \lbrace x_n \rbrace 在X中收敛，则定理1.1.11{xn}在X中收敛，则
(i){xn}的极限是唯一的.(i) \lbrace x_n \rbrace 的极限是唯一的.(i){xn}的极限是唯一的.
(ii)若x0是{xn}的极限,则它的任何子列也收敛到x0.(ii) 若x_0是\lbrace x_n \rbrace 的极限, 则它的任何子列也收敛到x_0.(ii)若x0是{xn}的极限,则它的任何子列也收敛到x0.

分析:利用距离空间中数列极限的定义来证明.分析:利用距离空间中数列极限的定义来证明.分析:利用距离空间中数列极限的定义来证明.
证明(i)反之法.假设同时有x0,y0∈X,x0≠y0,且证明(i) 反之法.假设同时有 x_0, y_0 \in X, x_0 \neq y_0, 且证明(i)反之法.假设同时有x0,y0∈X,x0=y0,且
xn→x0,xn→y0(n→∞).x_n \to x_0, x_n \to y_0 (n \to \infty).xn→x0,xn→y0(n→∞).
根据收敛数列的ε−N语言,我们有:根据收敛数列的\varepsilon - N 语言,我们有:根据收敛数列的ε−N语言,我们有:
对于ε0=12d(x0,y0)>0,存在N1,当n≥N1时,d(x0,xn)<ε0对于\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2} d(x_0, y_0) > 0, 存在N_1, 当 n \geq N_1时, d(x_0, x_n) < \varepsilon_0对于ε0=21d(x0,y0)>0,存在N1,当n≥N1时,d(x0,xn)<ε0
同时存在N2,当n≥N2时,d(y0,xn)<ε0同时存在N_2, 当n \geq N_2时, d(y_0, x_n) < \varepsilon_0同时存在N2,当n≥N2时,d(y0,xn)<ε0
于是当n≥max⁡{N1,N2}时,于是当n \geq \max \lbrace N_1, N_2 \rbrace 时,于是当n≥max{N1,N2}时,
d(x0,y0)≤d(x0,xn)+d(xn,y0)<2ε=d(x0,y0),\qquad d(x_0, y_0) \leq d(x_0, x_n) +d(x_n, y_0) < 2 \varepsilon = d(x_0, y_0),d(x0,y0)≤d(x0,xn)+d(xn,y0)<2ε=d(x0,y0),
这是不可能的，因此极限唯一.这是不可能的，因此极限唯一.这是不可能的，因此极限唯一.
(ii)与数学分析中(通常实数域距离空间中)收敛数列类似性质的证明方法一样.(ii) 与数学分析中(通常实数域距离空间中)收敛数列类似性质的证明方法一样.(ii)与数学分析中(通常实数域距离空间中)收敛数列类似性质的证明方法一样.
$由已知 x_n \to x_0 (n \to \infty), 根据定义有: $
∀ε>0,∃N,当n≥N时,d(xn,x0)<ε\forall \varepsilon > 0, \exists N, 当 n \geq N时, d(x_n, x_0) < \varepsilon∀ε>0,∃N,当n≥N时,d(xn,x0)<ε
设{xnk}是{xn}的子列(要证xnk→x0(k→∞)),设\lbrace x_{n_k} \rbrace 是 \lbrace x_n \rbrace 的子列(要证x_{n_k} \to x_0 (k \to \infty)),设{xnk}是{xn}的子列(要证xnk→x0(k→∞)),
由nk≥k,nk→∞,(k→∞)由 n_k \geq k, n_k \to \infty, (k \to \infty)由nk≥k,nk→∞,(k→∞)
取K=N,当k>N时,nk≥k>K=N,于是d(xnk,x0)<ε,取 K = N, 当k > N时, n_k \geq k > K = N, 于是 d(x_{n_k}, x_0) < \varepsilon,取K=N,当k>N时,nk≥k>K=N,于是d(xnk,x0)<ε,
即lim⁡k→∞xnk=x0即 \lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0即k→∞limxnk=x0

定义1.1.12d(x,y)是关于x和y的二元连续函数.定义1.1.12 d(x, y) 是关于x和y的二元连续函数.定义1.1.12d(x,y)是关于x和y的二元连续函数.
即当xn→x,yn→y(n→∞)时,即当x_n \to x, y_n \to y(n \to \infty)时,即当xn→x,yn→y(n→∞)时,
d(xn,yn)→d(x,y)(n→∞)\qquad d(x_n, y_n) \to d(x, y)(n \to \infty)d(xn,yn)→d(x,y)(n→∞)
分析:在距离空间(X,d)中对于任何两点x,y都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,这说明d(x,y)是一个二元实函数.分析:在距离空间(X, d) 中对于任何两点x, y 都有唯一确定的实数 d(x, y) \\\\ 与之对应, 这说明 d(x, y)是一个二元实函数.分析:在距离空间(X,d)中对于任何两点x,y都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,这说明d(x,y)是一个二元实函数.
在实数空间中,距离是通常的绝对值距离,定理要证:在实数空间中,距离是通常的绝对值距离,定理要证:在实数空间中,距离是通常的绝对值距离,定理要证:
在条件xn→x,yn→y(n→∞)下,有在条件x_n \to x, y_n \to y (n \to \infty)下,有在条件xn→x,yn→y(n→∞)下,有
∣d(xn,yn)−d(x,y)∣→0(n→∞)\qquad |d(x_n, y_n) - d(x, y) | \to 0 (n \to \infty)∣d(xn,yn)−d(x,y)∣→0(n→∞)

证明：由距离的三角不等式有:证明：由距离的三角不等式有:证明：由距离的三角不等式有:
$d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x) + d(x, y) + d(y, y_n), $
$即: d(x_n, y_n) - d(x, y) \leq d(x_n, x) + d(y_n, y), $
$同理有: d(x, y) - d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x) + d(y_n, y), $
于是有:于是有:于是有:
∣d(xn,yn)−d(x,y)∣≤d(xn,x)+d(yn,y)→(n→∞).|d(x_n, y_n) - d(x, y)| \leq d(x_n, x) + d(y_n, y) \to (n \to \infty).∣d(xn,yn)−d(x,y)∣≤d(xn,x)+d(yn,y)→(n→∞).

距离空间中收敛的“含义”距离空间中收敛的“含义”距离空间中收敛的“含义”
下面在一些距离空间中，我们研究收敛的“具体含义”.下面在一些距离空间中，我们研究收敛的“具体含义”.下面在一些距离空间中，我们研究收敛的“具体含义”.

例1.1.13Rm空间,设xn=(ξ1(n),ξ2(n),⋯,ξm(n))(n=1,2,⋯),例1.1.13 R^m 空间,设 x_n = (\xi_1^{(n)}, \xi_2^{(n)}, \cdots, \xi_m^{(n)}) (n = 1, 2, \cdots),例1.1.13Rm空间,设xn=(ξ1(n),ξ2(n),⋯,ξm(n))(n=1,2,⋯),
x=(ξ1,ξ2,⋯,ξm)∈Rm,则d(xn,x)→0,等价于\qquad x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_m) \in R^m, 则 d(x_n, x) \to 0, 等价于x=(ξ1,ξ2,⋯,ξm)∈Rm,则d(xn,x)→0,等价于
ξi(n)→ξi(n→∞),i=1,2,⋯,m.(1.1.11)\qquad \xi_i^{(n)} \to \xi_i(n \to \infty), i = 1, 2, \cdots, m. \quad (1.1.11)ξi(n)→ξi(n→∞),i=1,2,⋯,m.(1.1.11)
在Rm空间中，点列的收敛，等价于按坐标收敛.在R^{m}空间中，点列的收敛，等价于按坐标收敛.在Rm空间中，点列的收敛，等价于按坐标收敛.
证明:d(xn,x)→0,即(ξ1(n)−ξ1)2+⋯+(ξn(n)−ξm)2→0.(n→∞)证明: d(x_n, x) \to 0, 即\sqrt{(\xi_1^{(n)} - \xi_1)^2 + \cdots + (\xi_n^{(n)} - \xi_m)^2} \to 0. (n \to \infty)证明:d(xn,x)→0,即(ξ1(n)−ξ1)2+⋯+(ξn(n)−ξm)2→0.(n→∞)
∣ξi(n)−ξi∣≤(∑k=1m∣ξk(n)−ξk∣2)12=d(xn,x),i=1,2,⋯,m|\xi_i^{(n)} - \xi_i| \leq (\sum \limits_{k=1}^{m}|\xi_k^{(n)} - \xi_k|^2)^{\frac{1}{2}} = d(x_n, x), i = 1, 2, \cdots, m∣ξi(n)−ξi∣≤(k=1∑m∣ξk(n)−ξk∣2)21=d(xn,x),i=1,2,⋯,m
d(xn,x)=(∑k−1m∣ξk(n)−ξk∣2)12≤∣ξ1(n)−ξ1∣+⋯+∣ξm(n)−ξm∣d(x_n, x) = (\sum \limits_{k-1}^{m} |\xi_k^{(n)} - \xi_k|^2)^{\frac{1}{2}} \leq |\xi_1^{(n)} - \xi_1| + \cdots + |\xi_m^{(n)} - \xi_m|d(xn,x)=(k−1∑m∣ξk(n)−ξk∣2)21≤∣ξ1(n)−ξ1∣+⋯+∣ξm(n)−ξm∣
即可得到结论(空间中点列的收敛,等价于按坐标收敛).即可得到结论(空间中点列的收敛,等价于按坐标收敛).即可得到结论(空间中点列的收敛,等价于按坐标收敛).

例1.1.14C[a,b]空间.例1.1.14 C[a, b]空间.例1.1.14C[a,b]空间.
C[a,b]中的收敛性是函数列在[a,b]上的一致收敛.C[a, b]中的收敛性是函数列在[a, b]上的一致收敛.C[a,b]中的收敛性是函数列在[a,b]上的一致收敛.
设xn(t)(n=1,2,⋯),x(t)∈C[a,b],且d(xn,x)→0,即设x_n(t) (n=1, 2, \cdots), x(t) \in C[a, b],且d(x_n, x) \to 0, 即设xn(t)(n=1,2,⋯),x(t)∈C[a,b],且d(xn,x)→0,即
max⁡a≤t≤b∣xn(t)−x(t)∣→0(n→∞).\qquad \max \limits_{a \leq t \leq b}|x_n(t) - x(t) | \to 0 (n \to \infty).a≤t≤bmax∣xn(t)−x(t)∣→0(n→∞).
于是对∀ε≥0,∃N,当n≥N时,对∀t∈[a,b],有于是对 \forall \varepsilon \geq 0, \exists N, 当n \geq N时,对 \forall t \in [a, b], 有于是对∀ε≥0,∃N,当n≥N时,对∀t∈[a,b],有
∣xn(t)−x(t)∣≤max⁡a≤t≤b∣xn(t)−x(t)∣<ε,\qquad |x_n(t) - x(t) | \leq \max \limits_{a \leq t \leq b} | x_n(t) - x(t) | < \varepsilon,∣xn(t)−x(t)∣≤a≤t≤bmax∣xn(t)−x(t)∣<ε,
即:xn(t)一致收敛到x(t).即: x_n(t) 一致收敛到 x(t).即:xn(t)一致收敛到x(t).
反之，xn(t)一致收敛到x(t)可以推出d(xn,x)→0.反之，x_n(t)一致收敛到x(t)可以推出d(x_n, x) \to 0.反之，xn(t)一致收敛到x(t)可以推出d(xn,x)→0.
事实上，xn(t)一致收敛到x(t),即:事实上，x_n(t)一致收敛到x(t),即:事实上，xn(t)一致收敛到x(t),即:
对∀ε≥0,∃N,当n≥N时,对∀t∈[a,b],有对\forall \varepsilon \geq 0, \exists N, 当n \geq N时, 对\forall t \in [a, b], 有对∀ε≥0,∃N,当n≥N时,对∀t∈[a,b],有
$\qquad | x_n(t) - x(t) | < \varepsilon, $
上式两边对t∈[a,b]取最大值,则上式两边对t \in [a, b]取最大值, 则上式两边对t∈[a,b]取最大值,则
max⁡a≤t≤b∣xn(t)−x(t)∣≤ε\qquad \max \limits_{a \leq t \leq b} |x_n(t) - x(t) | \leq \varepsilona≤t≤bmax∣xn(t)−x(t)∣≤ε
说明xn→x(n→∞)说明 x_n \to x (n \to \infty)说明xn→x(n→∞)
即C[a,b]中的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛.即C[a, b]中的收敛是函数列在[a, b]上的一致收敛.即C[a,b]中的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛.

例1.1.15设X表示由[0,1]区间上全体连续函数组成的集合,定义例1.1.15 设X表示由[0, 1]区间上全体连续函数组成的集合,定义例1.1.15设X表示由[0,1]区间上全体连续函数组成的集合,定义
d2(x,y)={∫01∣x(t)−y(t)∣2dt}12(1.1.12)d_2(x, y) = \lbrace \int_0^1 |x(t) - y(t)| ^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} \quad (1.1.12)d2(x,y)={∫01∣x(t)−y(t)∣2dt}21(1.1.12)
可以证明，d2(x,y)是X上定义的距离(证明见第二章第2.2.3节)可以证明，d_2(x, y) 是X上定义的距离(证明见第二章第2.2.3节)可以证明，d2(x,y)是X上定义的距离(证明见第二章第2.2.3节)
考虑(X,d2)中的点列{xn},xn(t)={1−nt,0≤t≤1/n,0,1/n<t≤1.考虑(X, d_2)中的点列\lbrace x_n \rbrace, x_n(t) = \left \lbrace \begin{array}{l} 1 - nt, 0 \leq t \leq 1/n, \\ 0, \qquad 1/n < t \leq 1. \end{array} \right.考虑(X,d2)中的点列{xn},xn(t)={1−nt,0≤t≤1/n,0,1/n<t≤1.
则{xn}收敛到x0≡0.则\lbrace x_n \rbrace 收敛到x_0 \equiv 0.则{xn}收敛到x0≡0.
事实上,事实上,事实上,
d2(xn,x0)={∫01∣xn(t)−x0(t)∣2dt}12d_2(x_n, x_0) = \lbrace \int_0^1 |x_n(t) - x_0(t)| ^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}}d2(xn,x0)={∫01∣xn(t)−x0(t)∣2dt}21
={∫01n(1−nt)2dt}12=(3n)−12→0=\lbrace \int_0^{\frac{1}{n}}(1-nt)^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} = (3n)^{-\frac{1}{2}} \to 0={∫0n1(1−nt)2dt}21=(3n)−21→0

注:上述{xn}在距离(1.1.7)下也收敛到x0.注:上述\lbrace x_n \rbrace 在距离(1.1.7)下也收敛到x_0.注:上述{xn}在距离(1.1.7)下也收敛到x0.
d(x,y)=∫01∣x(t)−y(t)∣dt(1.1.7)d(x, y) = \int_0^1 |x(t) - y(t)| dt \quad (1.1.7)d(x,y)=∫01∣x(t)−y(t)∣dt(1.1.7)
注2:由于xn(0)≡1,{xn}并不一致收敛到x0.注2:由于x_n(0) \equiv 1, \lbrace x_n \rbrace 并不一致收敛到 x_0.注2:由于xn(0)≡1,{xn}并不一致收敛到x0.
(甚至xn(t)都不是每点收敛到x0(t))(甚至 x_n(t) 都不是每点收敛到x_0(t))(甚至xn(t)都不是每点收敛到x0(t))
这说明这些空间中点列(函数列)的收敛与C[a,b]中点列的收敛在“具体意义”下有很大不同.这说明这些空间中点列(函数列)的收敛与C[a, b]中点列的收敛\\\\ 在“具体意义”下有很大不同.这说明这些空间中点列(函数列)的收敛与C[a,b]中点列的收敛在“具体意义”下有很大不同.

例1.1.16在C[0,1]中我们重新考虑上面的例子.例1.1.16 在C[0, 1]中我们重新考虑上面的例子.例1.1.16在C[0,1]中我们重新考虑上面的例子.
对于∀n,都有d(xn,x0)≡1,于是{xn}不收敛于x0.对于\forall n, 都有d(x_n, x_0) \equiv 1, 于是\lbrace x_n \rbrace不收敛于 x_0.对于∀n,都有d(xn,x0)≡1,于是{xn}不收敛于x0.
初学者可能会认为{xn}趋近于y0,其中初学者可能会认为\lbrace x_n \rbrace 趋近于y_0,其中初学者可能会认为{xn}趋近于y0,其中
y0(t)={1,t=0,0,0<t<1.\qquad y_0(t) = \left \lbrace \begin{array}{l}1, \quad t = 0, \\ 0, 0 < t < 1. \end{array} \right.y0(t)={1,t=0,0,0<t<1.
但是要注意y0∈‾C[0,1],于是{xn}不趋近于y0.但是要注意y_0 \overline{\in} C[0, 1],于是\lbrace x_n \rbrace 不趋近于y_0.但是要注意y0∈C[0,1],于是{xn}不趋近于y0.
事实上，对∀N,∃n,2n>N,有事实上，对\forall N, \exists n, 2n > N, 有事实上，对∀N,∃n,2n>N,有
d(xn,x2n)=12,\qquad d(x_n, x_{2n}) = \dfrac{1}{2},d(xn,x2n)=21,
可见在空间C[0,1]中，点列{xn}不收敛.可见在空间C[0, 1]中，点列\lbrace x_n \rbrace 不收敛.可见在空间C[0,1]中，点列{xn}不收敛.
注:由上述例子可知，同一个点列,在不同的距离空间中收敛性会不相同.注:由上述例子可知，同一个点列,在不同的距离空间中收敛性会不相同.注:由上述例子可知，同一个点列,在不同的距离空间中收敛性会不相同.

例1.1.17空间s.例1.1.17 空间s.例1.1.17空间s.
设s={{ξn}},即全体实数列组成的集合.定义设s = \lbrace \lbrace \xi_n \rbrace \rbrace,即全体实数列组成的集合.定义设s={{ξn}},即全体实数列组成的集合.定义
d(x,y)=∑k=1∞12k∣ξk−ηk∣1+∣ξk−ηk∣(1.1.13)\qquad d(x, y) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|} \quad (1.1.13)d(x,y)=k=1∑∞2k11+∣ξk−ηk∣∣ξk−ηk∣(1.1.13)
其中x={ξk},y={ηk},则其中 x = \lbrace \xi_k \rbrace, y = \lbrace \eta_k \rbrace, 则其中x={ξk},y={ηk},则
(1)s为距离空间;(1) s 为距离空间;(1)s为距离空间;
(2)s中的收敛是按坐标收敛,即(2) s 中的收敛是按坐标收敛,即(2)s中的收敛是按坐标收敛,即
设xn=(ξ1(n),ξ2(n),⋯,ξk(n),⋯)∈s,设 x_n = (\xi_1^{(n)}, \xi_2^{(n)}, \cdots, \xi_k^{(n)}, \cdots ) \in s,设xn=(ξ1(n),ξ2(n),⋯,ξk(n),⋯)∈s,
x=(ξ1,ξ2,⋯,ξk,⋯)∈s,x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_k, \cdots) \in s,x=(ξ1,ξ2,⋯,ξk,⋯)∈s,
则“d(xn,x)→0(n→∞)”⇔∀k,ξk(n)→ξk(n→∞)则“d(x_n, x) \to 0 (n \to \infty)” \Leftrightarrow \forall k, \xi_k^{(n)} \to \xi_k (n \to \infty)则“d(xn,x)→0(n→∞)”⇔∀k,ξk(n)→ξk(n→∞)
分析(1)：要证s为距离空间，只要证明在s中所定义的距离d满足距离定义4条即可.分析(1)：要证s为距离空间，只要证明在s中所定义的距离d满足距离定义4条即可.分析(1)：要证s为距离空间，只要证明在s中所定义的距离d满足距离定义4条即可.
其中(1),(2),(3)显然成立,只要验证(4)三角不等式成立,即其中(1),(2),(3)显然成立,只要验证(4)三角不等式成立,即其中(1),(2),(3)显然成立,只要验证(4)三角不等式成立,即
d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)\qquad d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
利用函数φ(t)=t1+t的单增性,以及三角绝对值不等式,可以加以证明.利用函数 \varphi(t) = \dfrac{t}{1 + t}的单增性,以及三角绝对值不等式,可以加以证明.利用函数φ(t)=1+tt的单增性,以及三角绝对值不等式,可以加以证明.
证明:(1):验证距离定义的条件(4)成立.证明:(1):验证距离定义的条件(4)成立.证明:(1):验证距离定义的条件(4)成立.
考虑φ(t)=t1+t=1−11+t,t∈(0,∞),φ(t)是单增的.考虑\varphi(t) = \dfrac{t}{1+t} = 1 - \dfrac{1}{1 + t}, t \in (0, \infty), \varphi(t)是单增的.考虑φ(t)=1+tt=1−1+t1,t∈(0,∞),φ(t)是单增的.
设x={ξk},y={ηk},z={ζk},由于设x = \lbrace \xi_k \rbrace, y = \lbrace \eta_k \rbrace, z = \lbrace \zeta_k \rbrace, 由于设x={ξk},y={ηk},z={ζk},由于
∣ξk−ηk∣≤∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣|\xi_k - \eta_k| \leq |\xi_k - \zeta_k| + |\zeta_k - \eta_k|∣ξk−ηk∣≤∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣
结合φ(t)是单增的,则结合\varphi(t)是单增的, 则结合φ(t)是单增的,则
∣ξk−ηk∣1+∣ξk−ηk∣≤∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣1+∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣\dfrac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|} \leq \dfrac{|\xi_k - \zeta_k| + |\zeta_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \zeta_k| + |\zeta_k - \eta_k|}1+∣ξk−ηk∣∣ξk−ηk∣≤1+∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣
≤∣ξk−ζk∣1+∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣1+∣ζk−ηk∣\leq \dfrac{|\xi_k - \zeta_k|}{1 + |\xi_k - \zeta_k|} + \dfrac{|\zeta_k - \eta_k|}{1 + |\zeta_k - \eta_k|}≤1+∣ξk−ζk∣∣ξk−ζk∣+1+∣ζk−ηk∣∣ζk−ηk∣
在上面不等式两边乘以12k并求和,有在上面不等式两边乘以\dfrac{1}{2^k}并求和,有在上面不等式两边乘以2k1并求和,有
d(x,y)=∑k=1∞12k∣ξk−ηk∣1+∣ξk−ηk∣d(x, y) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|}d(x,y)=k=1∑∞2k11+∣ξk−ηk∣∣ξk−ηk∣
≤∑k=1∞12k∣ξk−ζk∣1+∣ξk−ζk∣+∑k=1∞12k∣ζk−ηk∣1+∣ζk−ηk∣\leq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k}\dfrac{|\xi_k - \zeta_k|}{1 + |\xi_k - \zeta_k|} + \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\zeta_k - \eta_k|}{1 + |\zeta_k - \eta_k|}≤k=1∑∞2k11+∣ξk−ζk∣∣ξk−ζk∣+k=1∑∞2k11+∣ζk−ηk∣∣ζk−ηk∣
=d(x,z)+d(z,y)= d(x, z) + d(z, y)=d(x,z)+d(z,y)
我们把这个距离空间记为s.我们把这个距离空间记为s.我们把这个距离空间记为s.
分析(2):要证明d(xn,x)→0⇔∀k,ξk(n)→ξk.分析(2):要证明d(x_n, x) \to 0 \Leftrightarrow \forall k, \xi_k^{(n)} \to \xi_k.分析(2):要证明d(xn,x)→0⇔∀k,ξk(n)→ξk.
必要性要证:对于任意给定的k0∈N,要能做到:必要性要证:对于任意给定的k_0 \in N, 要能做到:必要性要证:对于任意给定的k0∈N,要能做到:
∀ε>0,∃N,∀n>N,有∣ξk0(n)−ξk0∣<ε\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n > N, 有|\xi_{k_0}^{(n)} - \xi_{k_0}| < \varepsilon∀ε>0,∃N,∀n>N,有∣ξk0(n)−ξk0∣<ε
证明(2):必要性.证明(2):必要性.证明(2):必要性.
对于任意给定的k0,对于∀ε>0,令ε0=12k0ε1+ε>0,对于任意给定的k_0, 对于\forall \varepsilon > 0, 令 \varepsilon_0 = \dfrac{1}{2^{k_0}} \dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon} > 0,对于任意给定的k0,对于∀ε>0,令ε0=2k011+εε>0,
当n>N时,有d(xn,x)<ε0,即:当 n > N时, 有d(x_n, x) < \varepsilon_0,即:当n>N时,有d(xn,x)<ε0,即:
$d(x_n, x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|} < \varepsilon_0 = \dfrac{1}{2^{k_0}} \dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}, $
由于每项都是正的,于是我们有由于每项都是正的,于是我们有由于每项都是正的,于是我们有
12k0∣ξk0(n)−ξk0∣1+∣ξk0(n)−ξk0∣<12k0ε1+ε,(n>N)\dfrac{1}{2^{k_0}} \dfrac{|\xi_{k_0}^{(n)} - \xi_{k_0}|}{1 + |\xi_{k_0}^{(n)} - \xi_{k_0}|} < \dfrac{1}{2^{k_0}} \dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}, (n > N)2k011+∣ξk0(n)−ξk0∣∣ξk0(n)−ξk0∣<2k011+εε,(n>N)
$结合 \varphi(t) = \dfrac{t}{1 + t} 是单增的,有 |\xi_{k_0}^{(n)} - \xi_{k_0}| < \varepsilon, $
即ξk0(n)→ξk0(n→∞)即 \xi_{k_0}^{(n)} \to \xi_{k_0} (n \to \infty)即ξk0(n)→ξk0(n→∞)
分析(2)：充分性我们要证:分析(2)：充分性我们要证:分析(2)：充分性我们要证:
∀k,ξk(n)→ξk(n→∞)⇒d(xn,x)→0(n→∞)\forall k, \xi_k^{(n)} \to \xi_k(n \to \infty) \Rightarrow d(x_n, x) \to 0 (n \to \infty)∀k,ξk(n)→ξk(n→∞)⇒d(xn,x)→0(n→∞)
即要证明:d(xn,x)=∑k=1∞12k∣ξk(n)−ξk∣1+∣ξk(n)−ξk∣→0(n→∞)即要证明:d(x_n, x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|} \to 0 (n \to \infty)即要证明:d(xn,x)=k=1∑∞2k11+∣ξk(n)−ξk∣∣ξk(n)−ξk∣→0(n→∞)
注意到收敛的级数，充分靠后面的无穷多项的和可任意小.对于前面的有限项，注意到收敛的级数，充分靠后面的无穷多项的和可任意小.对于前面的有限项，注意到收敛的级数，充分靠后面的无穷多项的和可任意小.对于前面的有限项，
由条件可以找到共同的N,当n>N时,级数中的这些项都一致很小.由条件可以找到共同的N,当n > N时,级数中的这些项都一致很小.由条件可以找到共同的N,当n>N时,级数中的这些项都一致很小.
证明(2)充分性.证明(2)充分性.证明(2)充分性.
对于∀ε>0,∃K,使得∑k=K+1∞12k<12ε对于\forall \varepsilon > 0, \exists K, 使得\sum \limits_{k=K+1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} < \dfrac{1}{2} \varepsilon对于∀ε>0,∃K,使得k=K+1∑∞2k1<21ε
由于ξk(n)→ξk(n→∞)(k=1,2,⋯,K),由于\xi_k^{(n)} \to \xi_k(n \to \infty)(k=1, 2, \cdots, K),由于ξk(n)→ξk(n→∞)(k=1,2,⋯,K),
所以存在N,当n>N时,∣ξk(n)−ξk∣<ε2(k=1,2,⋯,K)所以存在N,当n > N时, |\xi_k^{(n)} - \xi_k| < \dfrac{\varepsilon}{2} (k = 1, 2, \cdots, K)所以存在N,当n>N时,∣ξk(n)−ξk∣<2ε(k=1,2,⋯,K)
于是当n>N时,于是当n > N时,于是当n>N时,
d(xn,x)=∑k=1∞12k∣ξk(n)−ξk∣1+∣ξk(n)−ξk∣d(x_n, x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|}d(xn,x)=k=1∑∞2k11+∣ξk(n)−ξk∣∣ξk(n)−ξk∣
=∑k=1K12k∣ξk(n)−ξk∣1+∣ξk(n)−ξk∣+∑k=K+1∞12k∣ξk(n)−ξk∣1+∣ξk(n)−ξk∣=\sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|} + \sum \limits_{k=K+1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|}=k=1∑K2k11+∣ξk(n)−ξk∣∣ξk(n)−ξk∣+k=K+1∑∞2k11+∣ξk(n)−ξk∣∣ξk(n)−ξk∣
<12ε∑k=1K12k+∑k=K+1∞12k<ε< \dfrac{1}{2} \varepsilon \sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{1}{2^k} + \sum \limits_{k=K+1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} < \varepsilon<21εk=1∑K2k1+k=K+1∑∞2k1<ε
即{xn}在s中收敛到x.即\lbrace x_n \rbrace 在s 中收敛到x.即{xn}在s中收敛到x.
$注:在上面有关级数的证明中, 由级数的收敛性, 先让后面项的和“很小”, $
再对前面的有限项进行估计,这是很常用的方法.再对前面的有限项进行估计,这是很常用的方法.再对前面的有限项进行估计,这是很常用的方法.

例1.1.18空间S.例1.1.18 空间S.例1.1.18空间S.
S中的元素为E上全体几乎处处有限的可测函数,S中的元素为E上全体几乎处处有限的可测函数,S中的元素为E上全体几乎处处有限的可测函数,
其中E⊂R是一个Lebesgue可测集,且mE<∞其中E \subset R是一个Lebesgue 可测集, 且m E < \infty其中E⊂R是一个Lebesgue可测集,且mE<∞
对于x=x(t),y=y(t)∈S,定义对于x = x(t), y = y(t) \in S, 定义对于x=x(t),y=y(t)∈S,定义
d(x,y)=∫E∣x(t)−y(t)∣1+∣x(t)−y(t)∣dt\qquad d(x, y) = \int_E \dfrac{|x(t) - y(t)|}{1 + |x(t) - y(t)|} dtd(x,y)=∫E1+∣x(t)−y(t)∣∣x(t)−y(t)∣dt
则则则
(1)S为距离空间;(1) S为距离空间;(1)S为距离空间;
(2)S中的收敛是依测度收敛.(2) S中的收敛是依测度收敛.(2)S中的收敛是依测度收敛.
即d(xn,x)→0(n→∞)等价于xn→mx(n→∞)(依测度收敛)即d(x_n, x) \to 0 (n \to \infty)等价于x_n \stackrel{m}{\to} x(n \to \infty)(依测度收敛)即d(xn,x)→0(n→∞)等价于xn→mx(n→∞)(依测度收敛)
(1)用例1.1.17的方法可证明S是一个距离空间.(1)用例1.1.17的方法可证明S是一个距离空间.(1)用例1.1.17的方法可证明S是一个距离空间.
(2)分析(⇒):(2)分析(\Rightarrow):(2)分析(⇒):
由d(xn,x)→0要推出xn→mx(n→∞)由d(x_n, x) \to 0 要推出x_n \stackrel{m}{\to} x(n \to \infty)由d(xn,x)→0要推出xn→mx(n→∞)
什么是依测度收敛?什么是依测度收敛?什么是依测度收敛?
xn→mx(n→∞)⇔对于∀σ>0,x_n \stackrel{m}{\to} x (n \to \infty) \Leftrightarrow 对于\forall \sigma > 0,xn→mx(n→∞)⇔对于∀σ>0,
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞),m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty),m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞),
即对于∀σ>0,∀ε>0,存在N,当n>N时,即对于\forall \sigma > 0, \forall \varepsilon > 0, 存在N,当n > N时,即对于∀σ>0,∀ε>0,存在N,当n>N时,
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}<εm \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace < \varepsilonm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}<ε
我们将集合E分成两部分:我们将集合E分成两部分:我们将集合E分成两部分:
对于任意给定的σ>0和自然数n,令对于任意给定的\sigma > 0 和自然数n, 令对于任意给定的σ>0和自然数n,令
$E_1 = \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | < \sigma \rbrace, $
$E_2 = \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace, $
E=E1∪E2E = E_1 \cup E_2E=E1∪E2
利用函数t1+t单增来证明利用函数\dfrac{t}{1 + t} 单增来证明利用函数1+tt单增来证明
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty)m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)
证明(2):对于任意给定的σ>0,由证明(2):对于任意给定的\sigma > 0,由证明(2):对于任意给定的σ>0,由
d(xn,x)=∫E∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dtd(x_n, x) = \int_E \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dtd(xn,x)=∫E1+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt
≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dt\geq \int _{ \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace} \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dt≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}1+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt
因为t1+t单增,而∣xn(t)−x(t)∣≥σ,于是因为\dfrac{t}{1+t}单增,而|x_n(t) - x(t)| \geq \sigma, 于是因为1+tt单增,而∣xn(t)−x(t)∣≥σ,于是
d(xn,x)≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}σ1+σdtd(x_n, x) \geq \int_{ \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace } \dfrac{\sigma}{1 + \sigma} dtd(xn,x)≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}1+σσdt
=σ1+σm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}(1.1.14)= \dfrac{\sigma}{1+\sigma} m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \quad (1.1.14)=1+σσm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}(1.1.14)
由于d(xn,x)→0(n→∞),σ给定,由不等式由于 d(x_n, x) \to 0(n \to \infty), \sigma 给定, 由不等式由于d(xn,x)→0(n→∞),σ给定,由不等式
d(xn,x)≥σ1+σm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}d(x_n, x) \geq \dfrac{\sigma}{1+\sigma} m \lbrace t \in E | | x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbraced(xn,x)≥1+σσm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}
推出推出推出
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty)m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)
反之,由xn(t)→mx(t)(n→∞),可推出反之,由x_n(t) \stackrel{m}{\to} x(t) (n \to \infty),可推出反之,由xn(t)→mx(t)(n→∞),可推出
d(xn,x)→0(n→∞).事实上,d(x_n, x) \to 0 (n \to \infty).事实上,d(xn,x)→0(n→∞).事实上,
d(xn,x)=∫E∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dtd(x_n, x) = \int_E \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dtd(xn,x)=∫E1+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt
=∫E1∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dt+∫E2∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dt= \int_{E_1} \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dt + \int_{E_2} \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dt=∫E11+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt+∫E21+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt
≤∫E1σ1+σdt+∫E2∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dt\leq \int_{E_1}\dfrac{\sigma}{1+\sigma} dt + \int_{E_2} \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dt≤∫E11+σσdt+∫E21+∣xn(t)−x(t)∣∣xn(t)−x(t)∣dt
≤σ1+σmE+mE2\leq \dfrac{\sigma}{1+\sigma} m E + mE_2≤1+σσmE+mE2
对于∀ε>0,取σ0mE<ε2,对于此σ0>0,上式成立.对于\forall \varepsilon > 0, 取\sigma_0 m E < \dfrac{\varepsilon}{2},对于此\sigma_0 > 0, 上式成立.对于∀ε>0,取σ0mE<2ε,对于此σ0>0,上式成立.
由由由
mE2=m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ0}→0,m E_2 = m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma_0 \rbrace \to 0,mE2=m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ0}→0,
存在N,当n≥N时,mE2<ε2.存在N, 当 n \geq N 时, m E_2 < \dfrac{\varepsilon}{2}.存在N,当n≥N时,mE2<2ε.
(这里用到了依测度收敛)(这里用到了依测度收敛)(这里用到了依测度收敛)
于是于是于是
d(xn,x)≤σ01+σ0mE+mE2d(x_n, x) \leq \dfrac{\sigma_0}{1+\sigma_0} m E + m E_2d(xn,x)≤1+σ0σ0mE+mE2
$ < \sigma_0 m E + \dfrac{\varepsilon}{2} = \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$
即d(xn,x)→0(n→∞)即 d(x_n, x) \to 0 (n \to \infty)即d(xn,x)→0(n→∞)