图形的对称、平移、旋转与位似是初中数学中几种重要的图形变换问题,也是各地中考的难点．解决这类问题需在平面直角坐标系中作出变换的图形，或根据图形变换求点的坐标；需要综合运用图形变换的性质特征,运用点的坐标的变化规律,根据图形的性质找到各点对应点的位置,从而得到解决问题的途径和方法．

下面举一例，对坐标系中图形变换的规律进行剖析．

题目 如图1,在平面直角坐标系中,∆ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:

(1)画出∆ABC关于y轴对称的∆A1B1C1,并写出点A1的坐标;

(2)将∆A1B1C1先向下平移2个单位,再向右平移5个单位,得到∆A2B2C2,画出这个三角形,并说出点A2的坐标;

(3)以圆心O为位似中心作出∆A2B2C2的位似图形∆A3B3C3,要求∆A2B2C2与∆A3B3C3的相似比为2∶1.

解析 这道例题可分以下三步来思考.

对称规律是:点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y);关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y);关于原点对称的点P3的坐标为(-x,y-y).可归纳为:与 谁对称谁不变,另一个变号,关于原点对称,横变纵也变.

方法一 如图2所示,根据轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分的性质,找出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置；再顺次连接,可得关于y轴对称的图形∆A1B1C1；然后根据图形写出点A1的坐标(-2,4)．

方法二 根据图形和点A的坐标(2,4),分别找出点B和点C的坐标B(1,2)、C(5,3)；再根据轴对称规律,分别找出A、B、C三点关于y轴的对称点的坐标A1(-2,4)、B1(-1,2)、C1(-5,3),然后顺次连结,可得关于y轴对称的图形∆A1B1C1．

2.关于平移

平移规律是:左右移动时,横坐标左减右加,纵坐标不变;上下移动时,纵坐标上加下减,横坐标不变．

1.关于轴对称和中心对称

方法二 观察图形和A1点的坐标(-2,4),根据点的平移规律“左减右加、上加下减”直接计算,得A2(-2+5,4-2)即A2(3,2),B2(-1+5,2-2)，即B2(4,0),C2(-5+5,3-2)，即C2(0,1)．由坐标确定点A2、B2、C2的位置,再顺次连结,可得平移的图形∆A2B2C2．

3.关于位似变换

位似的规律:两个位似图形是指它们的每组对应点所在的直线都经过同一点的特殊的相似图形．

观察∆A2B2C2.若以以原点为位似中心,相似比是2∶1,则由(2)中A2的坐标(3,2),它的对应点A3的坐标就是(kx,ky)或(-kx,-ky).这里

求出A3(1.5,1)或A3′(-1.5,-1).同理求出B3(B3′),C3(C3′)的坐标,合理连线(如图2),∆A3B3C3和∆

即为符合要求的位似图形．

总结 利用图形变化确定点的坐标,关键是掌握点的坐标的变化规律,根据图形的性质找到各点的对应点位置,顺次连结可得变化后的图形．

下面归纳出各种变换的特点和变换方法.

对称变换 成轴对称的两个图形中,其中一个图形上的所有点关于对称轴的对称点都在另一个图形上,轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分．对应线段相等,对应角相等．对应线段或其延长线相交,那么交点在对称轴上．

旋转变换 图形通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度.任意一对对应点与旋转中心的连线的夹角都与旋转角相等,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等.旋转过程中,图形的形状、大小都没有发生变化．

平移变换 图形的平移包含两要素,一是平移的方向；二是平移的距离.判断平移的时候,只需要沿平移的“路径”进行平移便可确定其两要素．

在平面直角坐标系中,如果把一个图形向左或向右平移a(a>0)个单位长度,那么图形上各个点的横坐标都减或加a;如果把一个图形向上或向下平移a(a>0)个单位长度,那么图形上各个点的纵坐标都加或减去a．

位似变换 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,两个位似图形的周长的比等于位似比,面积的比等于位似比的平方．如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k；点(x,y)的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).根据位似比找出另一个图形的关键点．

位似图形是相似图形的特例,不仅要求形状形同,而且还要求对应点的连线相交于同一点.因此位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.可能在图形的中间、两个图形的同一侧或图形上．作一个图形的位似图形的基本步骤是:选定位似中心——连点——延长——截倍(分)等,而得到放大或缩小的图形,新图形与原图形就是位似图形．