三角函数和复指数函数的转化_【导数压轴】当三角函数遇到导数02

引言（Introduction）：

我的上一篇文章也是介绍了一道三角函数导数压轴题，难度还是相当高的．

PorkingBun：【导数】三角函数与指数函数结合的压轴大题zhuanlan.zhihu.com

但是毕竟这类题型较少，我正愁没文章发，正好今天的作业就遇到一道题，难度更大．所以这次的解答过程会比较长，也比较烧脑，强烈建议大家在阅读之前拿张草稿纸亲自做一下，然后再耐心阅读哟！

正文（Main Body）：

例已知函数

，

．

（1）判断函数

在区间

上的零点的个数；

（2）函数

在区间

上的极值点从小到大分别为

，证明：

Ⅰ．

；

Ⅱ．对一切

，

成立．

第一眼看题目，可以发现第一问还是很简单的，老规矩，先上答案．

解析（1）

当

，

当

，

所以

在

又因为

，

所以

在

上有两个零点

不知道大家看到第二问，能不能联想到拐点（极值点）偏移？通常这类题目我们的常规做法是利用函数的单调性构造新函数，那这道题能不能也类比一下这种方法呢？

要想利用单调性，那首先就要确定自变量的范围．求导可以发现

其实是

的零点，而

的单调性我们在第一问已经求出来了，那么就要考虑利用零点定理了．

可是仔细一想，

的单调性我们没有确定啊！

这就要利用设而不求（隐零点）了．

考虑到命题Ⅰ是命题Ⅱ的一种情况，我们可以直接证明命题Ⅱ．

方法一

（2）Ⅱ．

由题可知

为

的极值点

所以

因为

在

单调

又因为

根据零点定理，

在

存在唯一零点

所以

由

所以

所以原命题转化为

又因为当

为正奇数时，

显然成立

所以要使原命题成立，只需且

为正奇数时

成立

因为

，且

在区间内为增函数

又因为

在区间内也为增函数

因为：

所以：

又因为

且

为正奇数

所以

所以命题Ⅱ成立！

当

时候命题Ⅰ也成立！

为了大家方便理解，解答分为了三大块：

一、确定

的范围

二、利用单调性转化命题

三、证明

其中第二部分是最难想的，用到了两个函数的单调性，十分巧妙；而第三部分也用到了设而不求的技巧．总的来说，这道题还是很有难度的．

如果我们换一种思路，

其实可以看作

和

的交点，这样利用正切函数的单调性也能巧妙地证明命题．方法二前面的部分和方法一是一样的，我们直接中间开始．

方法二

由方法一可知，要使原命题成立，只需

为正奇数时

成立

由

所以

为

和

在

的交点

由图像可知

又因为

，且

在区间内为增函数

所以

所以命题Ⅱ得证！

写在后面（The Last）：

这应该是我写过字数最多的文章了，自己写这道题的时候过程可以顺着思路一路往下写，但是真正到了写文章，还要考虑分析思路，调整过程的前后位置使得文章更好理解，所以这篇文章属实是花了我很多功夫．如果有更好的解法，欢迎留言讨论；如果文章有任何纰漏，欢迎指正．如果觉得写得还不错的话，点个赞吧~