洛谷P4234 最小差值生成树题解

题目链接：P4234 最小差值生成树

题意：给定一个点标号从 111 到 nnn 的、有 mmm 条边的无向图，求边权最大值与最小值的差值最小的生成树，图可能存在自环

这个题不太好利用kruskal来维护（其实kruskal来做就是暴力枚举）

考虑使用LCT动态维护生成树

可以先回顾一下如何用LCT来求解最小生成树 link

因为边之间没有什么本质区别，我们可以先把边按大小排序，以保证编号越小的边点，权值越小

然后我们可以从小到大枚举生成树中的最大值（从大到小其实是类似的）

那么我们只要保证生成树中边权的最小值尽可能的大即可

也就是说，在枚举最大边的时候，如果两结点未连通，我们可以直接将这两点连接

如果已经连通，那么就将当前生成树中x,y所成的链中的最小边扔掉，然后用最大边连接这两点

显然这个最小值就是生成树中编号最小的那一个，而且随着枚举会单调不降，那我们可以整个变量记录它，而由于它的单调不降性质，寻找这个最小值是不会影响到复杂度的

对于已经不在生成树的边（包括构成自环和被更新掉的边），我们直接让那个维护最小值的变量跳过它就行了，具体可以看下面代码

时间复杂度 O(mlog⁡m)O(m\log m)O(mlogm)

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define gc() getchar()
#define pc(a) putchar(a)
#define N (int)(4e5+5)
template<typename T>void read(T &k)
{char ch=gc();T x=0,f=1;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}k=x*f;
}
template<typename T>void write(T k)
{if(k<0){k=-k;pc('-');}if(k>9)write(k/10);pc(k%10+'0');
}
int n,m,idx,ans=INF,cnt,d;
namespace LCT
{struct Edge{int u,v,w;}e[N];int cmp(Edge a,Edge b){return a.w<b.w;}struct node{int ch[2],id,fa,tag,vis;}t[N];#define isroot(x) ((t[t[x].fa].ch[0]!=x)&&(t[t[x].fa].ch[1]!=x))void pushr(int x){swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);t[x].tag^=1;}void push_up(int x){t[x].id=x;if(t[t[x].ch[0]].id>n&&(t[x].id<=n||t[x].id>t[t[x].ch[0]].id))t[x].id=t[t[x].ch[0]].id;if(t[t[x].ch[1]].id>n&&(t[x].id<=n||t[x].id>t[t[x].ch[1]].id))t[x].id=t[t[x].ch[1]].id;}void push_down(int x){if(t[x].tag){if(t[x].ch[0])pushr(t[x].ch[0]);if(t[x].ch[1])pushr(t[x].ch[1]);t[x].tag=0;}}void push_all(int x){if(!isroot(x))push_all(t[x].fa);push_down(x);}void rotate(int x){int y=t[x].fa;int z=t[y].fa;int k=t[y].ch[1]==x;if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].fa=z;t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].fa=y;t[x].ch[k^1]=y;t[y].fa=x;push_up(y);push_up(x);}void splay(int x){push_all(x);while(!isroot(x)){int y=t[x].fa;int z=t[y].fa;if(!isroot(y))(t[z].ch[1]==y)^(t[y].ch[1]==x)?rotate(x):rotate(y);rotate(x);}}void access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=t[x].fa)splay(x),t[x].ch[1]=y,push_up(x);}void make_root(int x){access(x);splay(x);pushr(x);}int find_root(int x){access(x);splay(x);while(t[x].ch[0])push_down(x),x=t[x].ch[0];splay(x);return x;}void split(int x,int y){make_root(x);access(y);splay(y);}void link(int x,int y){make_root(x);if(find_root(y)!=x)t[x].fa=y;}/*void cut(int x,int y){make_root(x);if(find_root(y)==x&&t[y].fa==x&&!t[y].ch[0]){t[x].ch[1]=t[y].fa=0;push_up(x);}}*/int ck(int x,int y){make_root(x);return find_root(y)!=x;}
}
signed main()
{using namespace LCT;read(n);read(m);for(int i=1; i<=m; i++){read(e[i].u);read(e[i].v);read(e[i].w);}sort(e+1,e+1+m,cmp);d=1;for(int i=1; i<=m; i++){int idx=n+i,w=e[i].w,x=e[i].u,y=e[i].v;if(x==y){t[idx].vis=1;continue;}if(ck(x,y))link(x,idx),link(idx,y),++cnt;else{split(x,y);int now=t[y].id;t[now].vis=1;splay(now);t[t[now].ch[0]].fa=t[t[now].ch[1]].fa=0;link(x,idx);link(idx,y);}while(t[d+n].vis&&d<i)++d;if(cnt>=n-1)ans=min(ans,w-e[d].w);}write(ans);pc('\n');return 0;
}

顺便贴一下kruskal的暴力代码吧时间复杂度是 O(m2)O(m^2)O(m2) 的

这道题数据水过头了所以暴力也能过（已经反馈了

注：这个暴力是我去年(2021.2.6)写的，所以码风区别较大（（

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
int n,m,t,head[50005],in[50005],ans=INT_MAX,pos=1,cnt;
int f[50005],a[50005];
struct Edge
{int u,v,w,next;const bool operator<(const Edge &o)const{return w<o.w;}
}e[500005];
void init()
{for(R int i=1; i<=n; i++)f[i]=i;cnt=0;
}
void add(R int u,R int v,R int w)
{e[pos]={u,v,w,head[u]};head[u]=pos++;
}
int find(R int x)
{return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(R int i=1,u,v,w; i<=m; i++){scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);add(u,v,w);}if(m==0)return puts("-1"),0;sort(e+1,e+pos+1);for(R int k=1; k<=pos; k++){if(k>1&&e[k].w==e[k-1].w)continue;init();for(R int i=k;i<=pos; i++){R int u=find(e[i].u),v=find(e[i].v),w=e[i].w;if(u==v)continue;f[u]=v;if(++cnt==n-1){if(ans>e[i].w-e[k].w)ans=e[i].w-e[k].w;break;}}if(cnt!=n-1)break;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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