最小生成树 Kruskal

Kruskal算法比起Prim算法还要更贪心一些

Prim算法以某个顶点为起点，在这个顶点附近找权重最小的边；而Kruskal算法只要当前图中权重最小的边

Kruskal算法

Kruskal算法的思路是：把森林合并成树

最开始时，我们把所有的顶点看做是一棵树的根节点，总共有n棵树

整个图中，(v4, v7)的权重是最小的，从这里开始

这里要注意，尽管(v6, v5)、(v2, v1)的权重比(v6, v7)小，但选了前两个会形成回路

至此，最小生成树构建完成

存储结构

在Kruskal算法中，使用边集数组，提高对边处理的效率

typedef struct _edge {int begin;int end;int weight;
}edge;

边集合按照边集数组形式存储，每条边按照权重从小到大顺序排列

edge	begin	end	weight
0	0	1	10
1	0	5	11
2	1	2	18
3	1	6	16
4	1	8	12
5	2	3	22
6	2	8	8
7	3	4	20
8	3	6	24
9	3	7	16
10	3	8	21
11	4	5	26
12	4	7	7
13	5	6	17
14	6	7	19

加上顶点集合就是一张完整的图

typedef int VexType;
typedef struct _egraph {VexType* vex;edge* Arc;int num_vexs;int num_edge;
}egraph;

输入

第一行给出顶点个数和边的条数
第二行给出顶点元素的值
之后给出边集数组，数据按照下面的格式给出

起点	终点	权重

9 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 7 7
2 8 8
0 1 10
0 5 11
1 8 12
1 6 16
3 7 16
5 6 17
1 2 18
6 7 19
3 4 20
3 8 21
2 3 22
3 6 24
4 5 26

图的转化和排序是Kruskal算法的一部分，为了偷懒简化把这部分工作扔给输入了

void MST_Kruskal(egraph* e) {int* parent;  // 用来判断边与边是否会形成回路parent = new int[e->num_vexs]();   //加上圆括号调用构造函数, 初始化数组全为0int m, n;for (int i = 0; i < e->num_edge; i++) {n = find(parent, e->Arc[i].begin);m = find(parent, e->Arc[i].end);if (n != m) {   //不相等说明没有形成回路, 将这条边并入MSTparent[n] = m;cout << e->Arc[i].begin << ' ' << e->Arc[i].end << ' ' << e->Arc[i].weight << endl;}}delete[] parent;
}int find(int* parent, int f) {  //从给定的节点向其根节点回溯, 找到连线的尾巴while (parent[f] > 0) {f = parent[f];}return f;
}

假设有总共有n条边
find()的时间复杂度
O(log2n)O(log_2n) O(log2n)
find()嵌套在一个时间复杂度为O(n)的for循环内

所以MST_Kruskal()的时间复杂度为
O(nlog2n)O(nlog_2n) O(nlog2n)

输出

Prim和Kruskal的总结

Prim适合处理稠密图
Kruskal适合处理稀疏图

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最小生成树 Kruskal

Kruskal算法

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输入

输出

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