前言

我只是为了了解闭包才去了解序偶，笛卡尔积，自反，闭包的。
所以重点记录闭包，其他的只搞概念。

一、序偶

定义：
由两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对，记作<x,y>,其中x为第一元素，y为第二元素。

一定注意次序。
<x,y>!=<y,x>

二、笛卡尔积

定义：
设A,B是两个集合，称集合：
AXB={<x,y>|(x∈A∧（y∈B）}为笛卡尔积。
理解：
集合A与B的笛卡尔积仍然是集合，而且他们的元素是序偶，序偶的第一个元素取自A，第二个元素取自B。
例：

AXB={<a,b>,<a,c>}
BXA={<b,a>,<c,a>}
所以AXB!=BXA

2.关系

定义：
设A,B为两个非空集合，称AXB的任何子集R为从A到B的二元关系，简称关系。

A到B的关系个数：A的元素个数*B中元素的个数=n，A到B的个数=2^n
为什么是2^n次呢
这个子集可以按组合运算：
即：一元子集个数=Cn1
二元子集个数=Cn2
三元四元同理。
那么合起来有多少个，就有：2^n-1，但是我们在算子集时有空集，因此个数为 2的n次方。（n=A的元素个数乘以B的元素个数）

关系的性质（一个集合上的二元关系）

关系的自反性与反自反性

自反：
任意x∈A,有<x,x>∈R.
理解：
假如有A={1,2}，R={<1,1>,<2,2>}则称有自反关系。自反关系的关系图是每个节点都有环，它的关系矩阵是主对角线上全为1.
反自反：
任意x∈A，有<x,x>∉R。
理解：
假如有A={1,2,3}R={<1,2>,<2,3>,<1,3>}则称有反自反关系。反自反关系的每个节点都没有环。它的关系矩阵是主对角线全为0.
总结：自反必须有<1,1>,<2,2>,反自反则是必须没有<1,1>,<2,2>.

对称与反对称

传递性

自反闭包

对称闭包

传递闭包

总结

至此就算结束了，因为我之前学过，所以算是一种复习吧。我只想说，没有一种知识是没有用的。比如我学闭包是为了搞懂自动机。。。

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