【离散数学】计算机考研复试问答题总结

复试专业课需要考察离散数学，针对线上复试总结出的一些问答题目~
（如果有笔试，相关类型的题目一定要好好做）

第一章命题逻辑

Q1. 什么是永真式，永假式和可满足式？
（1）若一个命题公式在所有赋值下取值均为真，则称该命题公式为重言式或永真式
（2）若一个命题公式在所有赋值下取值均为假，则称该命题公式为矛盾式或永假式
（3）若一个命题公式至少存在一组成真赋值，则称该命题公式为可满足式

Q2. 怎样判断两命题公式等值？什么是等值演算？
等值演算：根据已知的等值式，推演出与给定公式等值的公式的过程。
判断两命题公式等值：
（1）由定义判断命题公式A和B是否等值，应判断A<->B是否为重言式，若A<->B的真值表最后一列全为1，则A<->B为重言式，因此A<=>B。
（2）看A经过等值演算能否推演出B。

Q3. 什么是极小项，极大项以及主析取范式和主合取范式？
极小项：若在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，则这样的简单合取式称为极小项。
极大项：若在简单析取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，则这样的简单析取式称为极大项。
主析取范式：如果一个命题公式的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为该命题公式的主析取范式。
主合取范式：如果一个命题公式的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为该命题公式的主合取范式。

Q4. 怎样用一个命题公式的主析取范式求主合取范式？
（1）求出该命题公式的主析取范式；
（2）写出以主析取范式中没出现的极小项的角码为角码的极大项；
（3）由这些极大项构成的合取式即为该公式的的主合取范式

Q5.怎样判断一个推理是否正确？
设A1,A2,…,Ak，B为结论。
若(A1∧A2∧…∧Ak)->B为重言式，则称A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确。

第二章谓词逻辑

Q6.什么是指导变元，什么是自由出现和约束出现？
在合式公式∀xA和∃xA中，称x为指导变项，A为相应量词的辖域；
x的所有出现为约束出现，A中不是约束出现的其他变项的出现为自由出现。

Q7.换名规则是什么？
将一个指导变项及其在辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号。

Q8.什么是前束范式？
设A为一谓词公式，如果A具有如下形式：Q1x1Q2x2…QkxkB
称A为前束范式，其中每个Qi为∀或∃，B为不含量词的谓词公式。
一个公式的前束范式各指导变项应该是不同的，原公式中自由出现的个体变项在前束范式中还应是自由出现的。

第三章集合的基本概念和运算

Q9.什么是幂集？
设A为集合，把A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作P(A)。

Q10.证明集合恒等式的方法有哪些？
（1）命题演算法（两个方向的包含）
（2）恒等变形法
（3）反证法

第四章二元关系与函数

Q11. 什么是集合的笛卡尔积？
设A,B为两个集合，用A中元素作为第一元素，B中元素为第二元素都成有序对。所有这样的有序对组成的集合为A和B的笛卡尔积。

Q12.什么是二元关系？
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R。

Q13. 如何表示二元关系？
集合表达式，关系矩阵，关系图

Q14. 介绍关系的性质。

Q15. 介绍关系的自反（对称，传递）闭包，以及如何求各闭包？
（1）唯一的，包含R的最小的自反（对称，传递）关系；
（2）若R是自反（对称，传递）的，则是R本身；
（3）若R不是自反（对称，传递）的，补上最少序偶使之自反（对称，传递）。
用关系图求闭包：
检查R的关系图，哪一个结点没有环就加上一个环，得到自反闭包；
如果将R的关系图中的单向边全部改成双向边，其他都不变，得到对称闭包；
依次检查R的关系图的每个结点x，把从x出发的长度不超过n的所有路径的终点找到，如果x到这样的终点没有边，就加上一条边，得到传递闭包。

Q16. 什么是集合上的等价关系？并举一个例子。
设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。
举例：无向图的连通关系是等价关系。

Q17. 什么是等价类和商集?
设R是非空集合A上的等价关系，则A上互相等价的元素构成的A的若干个子集称作等价类。
等价类:
（1）任何等价类都是集合A的非空子集；
（2）在A中任取两个元素，他们的等价类或是相等或是不交
（3）所有等价类的并集就是A
商集：等价类的集合。

Q18. 什么是集合上的偏序关系？并举一个例子。
设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系。
举例：实数集上的小于等于关系。

Q19. 什么是偏序集，什么是全序集？
偏序集：一个集合A和A上的偏序关系R一起被称作偏序集，记作<A,R>
全序集：设<A,≤>为偏序集，若对A中的任意元素x,y，x和y都可比，则称≤为A上的全序关系，且<A,≤>为全序集。

Q20. 如何描述偏序集？
对于有穷的偏序集<A,≤>可以用哈斯图来描述，实际上哈斯图是简化的关系图，在哈斯图中每个结点表示A中的一个元素，结点位置按他们在偏序中的次序从底向上排列。如果y盖住x，则在x和y之间连一条线。

Q21. 介绍集合的最小元，最大元，极小元，极大元的概念。
（1）若对任意x∈B, 都有b≼x, 则称b为B的最小元；
（2）若对任意x∈B,都有x≼b, 则称b 为B的最大元；
（3）若对任意x∈B, 满足 x≼ b ⇒ x=b, 则称b为B的极小元；
（4）若对任意x∈B, 满足 b ≼ x ⇒ x=b, 则称b为B的极大元。

Q22. 介绍集合的上界，下界，上确界，下确界的概念。
（1）若对任意x∈B,满足x≼a, 则称 a 为B的上界；
（2）若对任意x∈B,满足a≼x , 则称 a 为B的下界；
（3）若元素a '∈A是B的上界，元素a∈A是B的任何一个上界，若均有 a’≼a，则称 a '为B的上确界；
（4）若元素a ‘∈A是B的下界，元素a∈A是B的任何一个下界，若均有a≼a’，则称 a ’ 为B的下确界。

Q23. 介绍下列函数的性质：满射，单射，双射。
设函数f：A->B
（1）若ran f=B，则称f是满射的；
（2）若对于任何的x1,x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的；
（3）若f既是满射的又是单射的，则称f是双射的。

Q24. 什么是自然映射？
设R是A上的一个等价关系，顶不过以一个从A到A/R的函数g: A->A/R，且g(a)=[a],把A中的元素a映射到a的等价类[a]。

第五章图

Q25. 简述并证明握手定理。
握手定理：任何图中所有顶点的度数之和等于边数的2倍。
证明：每一条边都有2个端点，所有顶点的度数之和等于它们作为端点的次数之和，因此恰好等于边数的2倍。

Q26. 什么是图的连通分支？
设G为一个无向图，R是G中顶点的连通关系，按照R可将图中顶点分成若干个等价类，由它们导出的导出子图称为G的连通分支，G的连通分支的个数记为p(G)。

Q27. 什么是割点，什么是桥？
（1）设无向图G<V,E>，V’⊂V，若p(G-V’)>p(G)，且对V’的任何真子集V’‘，p(G-V‘’)=p(G)，则称V’为G的点割集。若点割集中只有一个顶点v，则称v为割点。
(非专业理解：点割集是这样的集合，将图中一个点割集中的所有顶点删去，剩下的连通分支数大于原图中的连通分支数；若删去一个点割集的真子集中的顶点，剩下的连通分支数等于原图中连通分支数。若点割集中只有一个顶点，这个顶点就是割点。)
（2）无向图G<V,E>，E’⊂E，若p(G-E’)>p(G)，且对E’的任何真子集E’‘，p(G-E‘’)=p(G)，则称E’为G的边割集。若边割集中只有一条边e，则称e为桥。
(非专业理解：边割集是这样的集合，将图中一个边割集中的所有边删去，剩下的连通分支数大于原图中的连通分支数；若删去一个边割集的真子集中的边，剩下的连通分支数等于原图中连通分支数。若边割集中只有一条边，这条边就是桥。)

Q28. 介绍图的几种矩阵表示。
关联矩阵（点和边的关系），邻接矩阵（点和点），可达矩阵

第六章特殊的图

Q29. 什么是二部图？
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成两个不相交的非空子集V1,V2，使得G中任何一条边的两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则成G为二部图。

Q30. 怎样判断一个无向图是否是二部图？
一个无向图G是二部图当且仅当G中没有长度为奇数的回路。

Q31. 什么是欧拉图？
经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），成为欧拉回路（通路），存在欧拉回路的图，称为欧拉图。

Q32. 怎样判断无向图和有向图是否存在欧拉回路（通路）。
（1）无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点，这两个顶点是欧拉通路的端点。
（2）有向图D有欧拉通路当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当D是连通的，且除了这两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个顶点，一个顶点的入度比出度大1，作为终点，另一个出度比入度大1，为始点。

Q33. 什么是哈密顿图？
经过图中每个顶点一次且仅一次的回路（通路）称为哈密顿回路（通路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。

Q34. 什么是平面图，什么是平面嵌入？
如果图G能画在平面上使得除顶点处外没有边交叉，则称G为平面图。画出的这种不出现边交叉的图称为G的一个平面嵌入。

Q35. 介绍两个图同构和同胚。
两个图同构的必要条件：顶点数相同，边数相同，度数序列相同
同胚：如果两个图同构或者经过反复插入或消去2度顶点后同构，则称两个图同胚。

Q36. 介绍基本割集系统和基本回路系统。
（1）设T是连通图G=<V,E>的一颗生成树，对每一条弦e，存在唯一的由弦e和T的树枝构成的初级回路C，称其为对应于弦e的基本回路。所有基本回路的集合为对应生成树T的基本回路系统。（只有一条弦）
（2）设T是连通图G=<V,E>的一颗生成树，对T的每一条树枝a，存在唯一的由树枝a，其余的边都是弦的割集，称这样的割集为对应树枝a的基本割集。所有基本割集的集合为对应生成树T的基本割集系统。（只有一条树枝）

第七章代数系统

Q37. 如何验证一个运算是否为集合S上的二元运算？
首先要保证参加运算的可以是S中的任意两个元素，而运算的结果也是S中的一个元素，即S对该运算是封闭的。

Q38. 什么是代数系统？
非空集合S和S上的k个运算f1,f2,…,fk，组成的系统成为一个代数系统。

Q39. 介绍半群，群，循环群。
设V=<S,o>是一个代数系统:

Q40. 介绍环和域。
设<R,+,*>是代数系统：

Q41. 什么是子群和生成子群，怎样判断G的子集H能否构成G的子群？
子群：设群<G,>，H是G的非空子集。如果H关于G中的运算构成群，称H为G的子群。
设G为群，H是G的非空子集，如果对任意x,y∈H，都有xy^(-1)∈H，则称H是G的子群。
生成子群：若对任何x∈G，令H={x^k|k∈Z}，即x的所有幂的集合，为元素x生成的子群。

Q42. 什么是格，什么是布尔代数？
格：设<S,≤>是偏序集，如果任意x,y∈S，{x,y}都有上确界和下确界，称S关于≤构成格。
布尔代数：有补分配格。

离散数学的话，有很多计算题和一些重要的题型，这部分要好好做，还有很多公式要好好背~~
以上只是针对于线上面试一些问答题目。但是有关图还有代数系统的许多知识比较抽象因为我自己理解的还不是太好所以没有包括。加油~