总共分三部分说明闭包问题：

（1）部分转发自： https://blog.csdn.net/wzwdcld/article/details/44783459，如侵权，请告知删除。

二元关系
设S是一个非空集合,R是关于S的元素的一个条件.如果对S中任意一个有序元素对（a,b）,我们总能确定a与b是否满足条件R,就称R是S的一个关系（relation）.如果a与b满足条件R,则称a与b满足条件R,则称a与b有关系R,记做aRb;否则称a与b无关系R.关系R也成为二元关系.
定义：
集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R)) 当中 G(R),称为R 的图,是笛卡儿积 X × Y的子集.若 (x,y) ∈ G(R) 则称 x 是 R-关系於 y 并记作 xRy 或 R(x,y).
但经常地我们把关系与其图等价起来,即若 R ⊆ X × Y 则 R 是一个关系.

（（（这里我自己加点东西：

五种基本操作:并,差,积,选择,投影;构成关系代数完备的操作集。其他非基本操作:可以用以上五种基本操作合成的所有操作。并(U)、交(⌒)、投影(π)选择。这是以前学sql数据库的时候老师介绍的五种基本运算。但是现在想来。其实计算机很多知识是相通的。我最近一直在找编译原理的闭包理解。然后发现不管是js，python，还有数学都有闭包的概念。应该有相通之处。只是我暂时还未发现。其实计算机应该算是数学应用的分支吧。从数学去找某些概念的源头应该可以行的通。离散数学是计算机学科的一个重要基础。）））

闭包

关系的闭包运算时关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。
比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。
一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。
设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。
R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。
性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。
性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。
性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；
（c）ts(R)⊇ st(R）。

（2）

第二部分这是js闭包的解释

https://blog.csdn.net/arvin_top/article/details/79464656 这篇博客是关于js闭包的概念。

（3）这是百度百科对闭包的解释：其实从这个定义来看，不论是js闭包，数学闭包，python闭包概念都是相通的。

闭包

闭包就是能够读取其他函数内部变量的函数。例如在javascript中，只有函数内部的子函数才能读取局部变量，所以闭包可以理解成“定义在一个函数内部的函数“。在本质上，闭包是将函数内部和函数外部连接起来的桥梁。

中文名

闭包

将函数内部和外部连接起来的桥梁

简单介绍

闭包包含自由（未绑定到特定对象）变量，这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义（局部变量）。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。

本质

集合 S 是闭集当且仅当 Cl(S)=S（这里的cl即closure，闭包）。特别的，空集的闭包是空集，X 的闭包是 X。集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集。

若 A 为包含 S 的 X 的子空间，则 S 在 A 中计算得到的闭包等于 A 和 S 在 X 中计算得到的闭包（Cl_A(S) = A ∩ Cl_X(S））的交集。特别的，S在 A 中是稠密的，当且仅当 A 是 Cl_X(S) 的子集。

性质

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cl(S) 是 S 的闭父集。

cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。

cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。

集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S）。

若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。

若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S）。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑闭包的定义。

在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛数列的所有极限。

举例说明

编辑

闭包 (closure）是个精确但又很难解释的电脑名词。在 Perl 里面，闭包是以匿名函数的形式来实现，具有持续参照位于该函数范围之外的文字式变数值的能力。这些外部的文字变数会神奇地保留它们在闭包函数最初定义时的值（深连结）。

如果一个程式语言容许函数递回另一个函数的话（像 Perl 就是），闭包便具有意义。要注意的是，有些语言虽提供匿名函数的功能，但却无法正确处理闭包； Python 这个语言便是一例。如果要想多了解闭包的话，建议你去找本功能性程式设计的教科书来看。Scheme这个语言不仅支持闭包，更鼓励多加使用。

以下是个典型的产生函数的函数：

sub add_function_generator {

return sub { shift + shift };

}

$add_sub = add_function_generator();

$sum = &$add_sub(4,5)； # $sum是 9了

闭包用起来就像是个函数样板，其中保留了一些可以在稍後再填入的空格。add_function_generator() 所递回的匿名函数在技术上来讲并不能算是一个闭包，因为它没有用到任何位在这个函数范围之外的文字变数。

把上面这个例子和下面这个make_adder()函数对照一下，下面这个函数所递回的匿名函数中使用了一个外部的文字变数。这种指明外部函数的作法需要由 Perl递回一个适当的闭包，因此那个文字变数在匿名函数产生之时的值便永久地被锁进闭包里。

sub make_adder {

my $addpiece = shift;

return sub { shift + $addpiece };

}

$f1 = make_adder(20)；

$f2 = make_adder(555)；

这样一来&$f1($n) 永远会是 20加上你传进去的值$n ，而&$f2($n) 将永远会是 555加上你传进去的值$n。$addpiece的值会在闭包中保留下来。

闭包在比较实际的场合中也常用得到，譬如当你想把一些程式码传入一个函数时：

my $line;

timeout（30,sub { $line = <STDIN> });

如果要执行的程式码当初是以字串的形式传入的话，即'$line = <STDIN>' ，那么timeout() 这个假想的函数在回到该函数被呼叫时所在的范围后便无法再截取$line这个文字变数的值了。

语法结构

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创建

编辑

在Javascript中闭包的创建过程，如以下程序所示。

代码

特点

这段代码有两个特点：

1、函数b嵌套在函数a内部；

2、函数a返回函数b。

这样在执行完var c=a( )后，变量c实际上是指向了函数b，再执行c( )后就会弹出一个窗口显示i的值（第一次为1）。这段代码其实就创建了一个闭包，这是因为函数a外的变量c引用了函数a内的函数b。也就是说，当函数a的内部函数b被函数a外的一个变量引用的时候，就创建了一个闭包。

作用

简而言之，闭包的作用就是在a执行完并返回后，闭包使得Javascript的垃圾回收机制不会收回a所占用的资源，因为a的内部函数b的执行需要依赖a中的变量。

在上面的例子中，由于闭包的存在使得函数a返回后，a中的i始终存在，这样每次执行c()，i都是自加1后alert出i的值。

那么我们来想象另一种情况，如果a返回的不是函数b，情况就完全不同了。因为a执行完后，b没有被返回给a的外界，只是被a所引用，而此时a也只会被b引用，因此函数a和b互相引用但又不被外界打扰（被外界引用），函数a和b就会被回收。

例子

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例1

模拟私有变量：

function Counter(start){

var count = start;
　　return{
　　increment:function(){
　　count++;
　　},
　　get:function(){
　　return count;
　　}
　　}
　　}
　　var foo =Counter(4);
　　foo.increment();
　　foo.get();// 5

这里，Counter 函数返回两个闭包，函数 increment 和函数 get。这两个函数都维持着对外部作用域 Counter 的引用，因此总可以访问此作用域内定义的变量count。

objective c的闭包（block）

objective c 中的的闭包，是通过block实现的。Apple在C，Objective-C和C++中扩充了Block这种文法的，并且在GCC4.2中进行了支持。你可以把它理解为函数指针，匿名函数，闭包，lambda表达式，这里暂且用块对象来表述，因为它们之间还是有些许不同的。

如果以内联方式使用块对象，则无需声明。块对象声明语法与函数指针声明语法相似，但是块对象应使用脱字符(^)而非星号指针 (*)。下面的代码声明一个aBlock变量，它标识一个需传入三个参数并具有float返回值的块。

float (^aBlock)(const int*, int, float);

例2

下面是一个使用闭包简单的例子，模拟一个计数器，通过将整型包裹为一个列表的单一元素来模拟使看起来更易变：

函数counter()所作的唯一一件事就是接受一个初始化的值来计数，并将该值赋给列表count成员，然后定义一个内部函数incr()。通过内部函数使用变量count，就创建了一个闭包。最魔法的地方是counter()函数返回一个incr()，一个可以调用的函数对象。

微观世界

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如果要更加深入的了解闭包以及函数a和嵌套函数b的关系，我们需要引入另外几个概念：函数的执行环境（execution context）、活动对象（call object）、作用域（scope）、作用域链（scope chain）。以函数a从定义到执行的过程为例阐述这几个概念。

1、当定义函数a的时候，js解释器会将函数a的作用域链（scope chain）设置为定义a时a所在的“环境”，如果a是一个全局函数，则scope chain中只有window对象。

2、当函数a执行的时候，a会进入相应的执行环境（execution context）。

3、在创建执行环境的过程中，首先会为a添加一个scope属性，即a的作用域，其值就为第1步中的scope chain。即a.scope=a的作用域链。

4、然后执行环境会创建一个活动对象（call object）。活动对象也是一个拥有属性的对象，但它不具有原型而且不能通过JavaScript代码直接访问。创建完活动对象后，把活动对象添加到a的作用域链的最顶端。此时a的作用域链包含了两个对象：a的活动对象和window对象。

5、下一步是在活动对象上添加一个arguments属性，它保存着调用函数a时所传递的参数。

6、最后把所有函数a的形参和内部的函数b的引用也添加到a的活动对象上。在这一步中，完成了函数b的的定义，因此如同第3步，函数b的作用域链被设置为b所被定义的环境，即a的作用域。

到此，整个函数a从定义到执行的步骤就完成了。此时a返回函数b的引用给c，又函数b的作用域链包含了对函数a的活动对象的引用，也就是说b可以访问到a中定义的所有变量和函数。函数b被c引用，函数b又依赖函数a，因此函数a在返回后不会被GC回收。

当函数b执行的时候亦会像以上步骤一样。因此，执行时b的作用域链包含了3个对象：b的活动对象、a的活动对象和window对象，如下图所示：

当在函数b中访问一个变量的时候，搜索顺序是先搜索自身的活动对象，如果存在则返回，如果不存在将继续搜索函数a的活动对象，依次查找，直到找到为止。如果整个作用域链上都无法找到，则返回undefined。如果函数b存在prototype原型对象，则在查找完自身的活动对象后先查找自身的原型对象，再继续查找。这就是Javascript中的变量查找机制。

应用场景

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1、保护函数内的变量安全。以最开始的例子为例，函数a中i只有函数b才能访问，而无法通过其他途径访问到，因此保护了i的安全性。

2、在内存中维持一个变量。依然如前例，由于闭包，函数a中i的一直存在于内存中，因此每次执行c（），都会给i自加1。

以上两点是闭包最基本的应用场景，很多经典案例都源于此。

回收机制

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在Javascript中，如果一个对象不再被引用，那么这个对象就会被GC回收。如果两个对象互相引用，而不再被第3者所引用，那么这两个互相引用的对象也会被回收。因为函数a被b引用，b又被a外的c引用，这就是为什么函数a执行后不会被回收的原因。

匿名内部

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在Python中的闭包（Closure)

学过Java GUI编程的人都知道定义匿名内部类是注册监听等处理的简洁有效手段，闭包的定义方式有点类似于这种匿名内部类，

但是闭包的作用威力远远超过匿名内部类，这也是很多流行动态语言选择闭包的原因，相信你在JavaScript中已经了解它的神奇功效了。

度量空间

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对欧几里德空间的子集 S，x 是 S 的闭包点，若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x）。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的闭包点，若对所有 r > 0，存在 y 属于 S，使得距离 d(x,y) < r（同样的，可以是 x = y）。另一种说法可以是，x 是 S 的闭包点，若距离 d(x,S) := inf{d(x,s) : s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的闭包点，若所有 x 邻域都包含 S 的点。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

离散数学

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离散数学中，一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。

设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：

（i）R'是自反的（对称的、传递的）；

（ii）R'⊇R；

（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。

R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。

性质1

集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：

ts(R)=t(s(R))

表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。

性质2

设R是集合A上的二元关系，则有

（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；

（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；

（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。

性质3

设R是集合A上的二元关系，则有

（a）rs(R)=sr(R）；

（b）rt(R)=tr(R）；

（c）ts(R)⊇ st(R）。

使用注意点

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（1）由于闭包会使得函数中的变量都被保存在内存中，内存消耗很大，所以不能滥用闭包，否则会造成网页的性能问题，在IE中可能导致内存泄露。解决方法是，在退出函数之前，将不使用的局部变量全部删除。

（2）闭包会在父函数外部，改变父函数内部变量的值。所以，如果把父函数当作对象（object）使用，把闭包当作它的公用方法（Public Method），把内部变量当作它的私有属性（private value），这时一定要小心，不要随便改变父函数内部变量的值。

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