Java_B组2015年省赛真题

01 三角形面积
02 立方变自身
03 三羊献瑞
04 循环节长度
05 九数组分数
06 加法变乘数
07 牌型种数
08 饮料换购
09 垒骰子
10 生命之树

01 三角形面积

如图1所示。图中的所有小方格面积都是1。

那么，图中的三角形面积应该是多少呢？

请填写三角形的面积。不要填写任何多余内容或说明性文字。

答案：28

02 立方变自身

观察下面的现象,某个数字的立方，按位累加仍然等于自身。
1^3 = 1
8^3 = 512 5+1+2=8
17^3 = 4913 4+9+1+3=17
…

请你计算包括1,8,17在内，符合这个性质的正整数一共有多少个？

请填写该数字，不要填写任何多余的内容或说明性的文字。

答案：6

public class B_02立方变自身 {public static void main(String[] args) {int ans = 3;long i = 18;while(i < 100) {long num = i * i * i;if(check(num, i)) {System.out.println(i + "的3次方 = " + num);ans++;}i++;}System.out.println(ans);}private static boolean check(long num, long i) {long sum = 0;while(num != 0) {sum += num % 10;num /= 10;}if(sum == i)     return true;return false;}
}

03 三羊献瑞

观察下面的加法算式：

祥瑞生辉

+ 三羊献瑞

____________________________________________

三羊生瑞气

其中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

请你填写“三羊献瑞”所代表的4位数字（答案唯一），不要填写任何多余内容。

答案：1085
读题观察：
- 将汉字转换为 abcd + efgb = efcbh；
- 两个最大的数9+9得18，最多进一位，即说明 ”三“ = 1 即 e = 1；推测祥 + 三 = 羊(a + e = f) 中 a = 9，f = 0；在瑞 + 羊 = 生中，必有低位来的进位（否则瑞 + 0 = 瑞），可得 b + 1 = c；生 + 献 = 瑞中有进位，即 c + g > 10 ；
  
  此时有三个已知、五个未知，只需对四个未知进行搜索（h位由 d 和 b可确定）。

// abcd + efgb = efcbh
public class B_03三羊献瑞 {public static void main(String[] args) {//    abcd //  + efgb// = efcbh 一共8个不同数字int e = 1, a = 9, f = 0;for(int d = 2; d < 9; d++) {  for(int b = 2; b < 9; b++) {  if(d == b)    continue;   // 数字不同int h = (d + b) % 10;if(h == d || h == d || h == e || h == a || h == f)  continue;int c = b + 1;if(c == d || c == d || c == a || c == h)  continue;for(int g = 2; g < 9; g++) {  if(g == d || g == b || g == h || g == c)    continue;if((c + g + ((d + b) / 10)) % 10 == b){System.out.println(e*1000 + g * 10 + b);break;}else {continue;}}}}}
}

04 循环节长度

两个整数做除法，有时会产生循环小数，其循环部分称为：循环节。
比如，11/13=6=>0.846153846153… 其循环节为[846153] 共有6位。
下面的方法，可以求出循环节的长度。

请仔细阅读代码，并填写划线部分缺少的代码。
public static int f(int n, int m)
{n = n % m;    Vector v = new Vector();for(;;){v.add(n);n *= 10;n = n % m;if(n==0) return 0;if(v.indexOf(n)>=0)  _________________________________ ;  //填空}
}
注意，只能填写缺少的部分，不要重复抄写已有代码。不要填写任何多余的文字。

答案：
```
return v.size() - v.indexOf(n);
```
方法：需要注释掉填空行，运行代码观察v内元素的变化规律，当当前余数n在v中已经存在时，他们的间隔是循环小数的长度。

05 九数组分数

1,2,3…9 这九个数字组成一个分数，其值恰好为1/3，如何组法？

下面的程序实现了该功能，请填写划线部分缺失的代码。
public class A
{public static void test(int[] x){int a = x[0]*1000 + x[1]*100 + x[2]*10 + x[3];int b = x[4]*10000 + x[5]*1000 + x[6]*100 + x[7]*10 + x[8];        if(a*3==b) System.out.println(a + " " + b);}public static void f(int[] x, int k){if(k>=x.length){test(x);return;}for(int i=k; i<x.length; i++){int t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;f(x,k+1);_______________________________________       // 填空}}public static void main(String[] args){int[] x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};        f(x,0);}
}
注意，只能填写缺少的部分，不要重复抄写已有代码。不要填写任何多余的文字。

答案：

t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t; // 进行还原回溯

方法：

参考2013年JavaB组省赛带分数题，使用的是全排列递归深搜方法。

06 加法变乘数

我们都知道：1+2+3+ … + 49 = 1225
现在要求你把其中 两个不相邻 的加号变成乘号，使得结果为2015

比如：
1+2+3+…+10*11+12+…+27*28+29+…+49 = 2015
就是符合要求的答案。

请你寻找另外一个可能的答案，并把位置靠前的那个乘号左边的数字提交（对于示例，就是提交10）。

注意：需要你提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容。

答案：16

public class B_06加法变乘数 {public static void main(String[] args) {for(int i = 1; i < 47; i++) {for(int j = i + 2; j < 49; j++) {int ans = 0, k = 1;while(k <= 49) {if(k == i || k == j){ans += (k * (k + 1));k += 2;}else {ans += k++;}}if(ans == 2015)System.out.println(i + " " + j);}}}
}

或：

public class B_06加法变乘数 {public static void main(String[] args) { for(int i = 1; i < 47; i++) { // 第一个乘号的位置,只能到46,因为后面还有一个乘号且两个乘号不相邻for(int j = i + 2; j < 49; j++) {    // 第二个乘号位置if(i * (i + 1) - (i + i + 1) + j * (j + 1) - (j + j + 1) == (2015 - 1225))   // 用全部相加等于1225的式子和改变乘号结果为2015的式子作差System.out.println(i + " " + j);}}}
}

07 牌型种数

小明被劫持到X赌城，被迫与其他3人玩牌。
一副扑克牌（去掉大小王牌，共52张），均匀发给4个人，每个人13张。
这时，小明脑子里突然冒出一个问题：
如果不考虑花色，只考虑点数，也不考虑自己得到的牌的先后顺序，自己手里能拿到的初始牌型组合一共有多少种呢？

请填写该整数，不要填写任何多余的内容或说明文字。

答案：3598180
方法思路：

13种牌，每一种能取0、1、2、3、4张；

从1到13进行递归（层数13），每层进行拿牌操作，有五种可能；

最后验证拿牌种数、拿牌数量是否符合要求。

public class B_07牌型种数 {private static int ans;public static void main(String[] args) {f(0, 0);System.out.println(ans);}public static void f(int k, int cnt) {if(k > 13 || cnt > 13)    return; // 分配不合法if(k == 13 && cnt == 13) {  // 分配结束、符合条件ans++;return;}for(int i = 0; i < 5; i++) {  // 每一种牌可以选0到4张f(k + 1, cnt + i);}}
}

08 饮料换购

乐羊羊饮料厂正在举办一次促销优惠活动。乐羊羊C型饮料，凭3个瓶盖可以再换一瓶C型饮料，并且可以一直循环下去，但不允许赊账。

请你计算一下，如果小明不浪费瓶盖，尽量地参加活动，那么，对于他初始买入的n瓶饮料，最后他一共能得到多少瓶饮料。

输入：一个整数n，表示开始购买的饮料数量（0<n<10000）
输出：一个整数，表示实际得到的饮料数

例如：
输入：
100
输出：
149

输入：
101
输出：
151

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

方法：模拟过程即可

import java.util.Scanner;public class B_08饮料换购 {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int change = 0;int num = n;while (true) {change += num / 3;   // 每次可以兑换的瓶数,进行叠加num = num / 3 + num % 3; // 还能去兑换的数量为每轮新兑换的数量+旧的当中未使用的if(num < 3)    break;  // 若能去兑换的瓶数小于3,停止循环}System.out.println(change + n);}
}

09 垒骰子

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。

经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！

我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。

假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。 atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。

两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。

由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 不能紧贴在一起。

「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」
2 1
1 2

「样例输出」
544

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

方法一：递归（30分）

方法二：递推、dp

方法三：矩阵快速幂（100分）

import java.util.Scanner;public class B_09垒骰子 {private static final long MOD = 1000000007;private static int op[] = new int[7];    // 一个骰子中各面的相对面private static int n;private static int m;public static void main(String[] args) {init();Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();long[][] conflict = new long[6][6];    // 初始化冲突矩阵for(int i = 0; i < 6; i++) {for(int j = 0; j < 6; j++) {conflict[i][j] = 1; }}// 建立冲突矩阵for(int i = 0; i < m; i++) {int a = sc.nextInt();int b = sc.nextInt();conflict[op[a] - 1][b - 1] = 0;conflict[op[b] - 1][a - 1] = 0;}// 求冲突矩阵的n-1次方long[][] mPow_n_1  = mPow(conflict, n - 1);// 累加矩阵的每个元素long ans = 0;for(int i = 0; i < 6; i++) {for(int j = 0; j < 6; j++) {ans = (ans + mPow_n_1[i][j]) % MOD;}}// ans*4^nSystem.out.println(ans * power(4, n) % MOD); }// 计算指数幂private static long power(long i, int n) {long ans = 1;while(n != 0) {if((n & 1) == 1) ans = ((ans * i) % MOD);i = i * i % MOD;n >>= 1;}return ans;}// 矩阵的快速幂private static long[][] mPow(long[][] conflict, int n) {long[][] e = new long[6][6];for(int i = 0; i < 6; i++) {for(int j = 0; j < 6; j++) {if(i == j) e[i][j] = 1;else e[i][j] = 0;}}while(n != 0) {if((n & 1) == 1) {e = mMul(e, conflict);}conflict = mMul(conflict, conflict);n >>= 1;}return e;}// 矩阵乘法private static long[][] mMul(long[][] a, long[][] b) {long[][] ans = new long[6][6];for(int i = 0; i < 6; i++) {for(int j = 0; j < 6; j++) {for(int k = 0; k < 6; k++) {ans[i][j] = (ans[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD; }}}return ans;}// 初始化骰子6个面中相对的面public static void init() {op[1] = 4;    op[4] = 1;op[2] = 5;  op[5] = 2;op[3] = 6;  op[6] = 3;}
}

10 生命之树

在X森林里，上帝创建了生命之树。

他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。

上帝要在这棵树内选出一个非空节点集S，使得对于S中的任意两个点a,b，都存在一个点列 {a, v1, v2, …, vk, b} 使得这个点列中的每个点都是S里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。

在这个前提下，上帝要使得S中的点所对应的整数的和尽量大。

经过atm的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

「输入格式」
第一行一个整数 n 表示这棵树有 n 个节点。
第二行 n 个整数，依次表示每个节点的评分。
接下来 n-1 行，每行 2 个整数 u, v，表示存在一条 u 到 v 的边。由于这是一棵树，所以是不存在环的。

「输出格式」
输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。

「样例输入」
5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5

「样例输出」
8

「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 10
对于 100% 的数据，0 < n <= 10^5, 每个节点的评分的绝对值不超过 10^6 。

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 3000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

方法一：暴力枚举子集，dfs探测是否连通（30分）

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