行列式的计算机及应用

本科生毕业论文(设计)

题 目：行列式的计算及应用

姓 名：王冉冉 指导教师：郭素霞

系 别：数学系

专 业：数学与应用数学

年 级：2002级

完成日期：2006年 5 月26日

本科生毕业论文(设计)

论文题目： 行列式的计算及应用

摘要：行列式是高等代数的一项重要内容，也是其它学科学习的基础，本文主要讨论行列式的计算方法及简单应用。 行列式计算常用方法有按某一行或列展开计算行列式，利用公式法，利用方阵行列式的性质计算行列式，借用第三者法，换元法，逐行或列相减法，化三角形法，析因子法，拆行(列)法,加边法，递推法，利用行列式的乘法法则，连加法，乘积法，对称法。行列式在数学各分支中有着广泛的应用，本文主要讨论用行列式判断两直线间的位置关系与n×n方程组解的情况。

关键词：行列式；计算；应用

把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k乘这个行列式

行列式产生于解线性方程组，然而其应用现远远超出了解线性方程组的范围，成为了学习其它学科相当重要的工具，因此行列式的学习很重要。

一．行列式的计算

对于较低阶的行列式，其计算一般采用下面的几种方法：

按行(或列)展开(可按一行或几行)将高阶行列式化为若干各低阶行列式的计算；

三角化法：利用行列式的性质，对行(或列)施行消法变换，换法变换可将原行列式主对角线一侧的元素化为零(即上三角或下三角)，这时主对角线上元素的乘积即为原行列式的值；

按行列式的性质及按行(或列)展开成一块用来计算行列式的值。

而对于n阶行列式来说，由于其题型变化较多，因此除使用以上三种方法外，还要依据行列式元素间的规律来计算。下面介绍了一些行列式的计算方法。

1．化为三角形法

由n阶行列式定义可知：上(下)三角行列式，对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。所以要计算一个n阶行列式通常是利用行列式的性质，经过一系列行列式的变形，把所给的行列式化简为一个上(下)三角行列式，这就是常说的化三角法，再根据

==…

==…

就可求得原行列式的值。

例1．计算n阶行列式

解 因为这个行列式中每一行上n个元素之和都为n+1，所以将第2,3,…，n列元素都加到第一列上，得,

注：(1)形如

(2)化三角形法计算行列式的方法比较容易掌握，是计算行列式的一种常用的方法，如下面各行列式均可以使用化三角形法计算，例如

2． 析因子法

如果行列式D中有一些元素是变量X(或某个参数)的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后，直接地对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的线性因式(一次因式)，使得f(x)与这些线性因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c,根据多项式相等定义，比较f(x)与g(x)的某一项系数，求出c的值，这样便求得D=f(x)=cg(x)，对于行列式中有些元素是n个变数的多项式也可以类似处理。

例2．D= 可以看作关于多项式f(x),

当x=±1时

f()==0

当x=时

f()==0

所以f(x)有因子：x－1,x＋1,x－2,x＋2

另外，由行列式定义可知，D中只含有x的最高次数为4，故D=c(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

而D中只含的系数为－3，从而得c=-－3. 故 D=－3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

3． 拆行(列)法

此法是把已知的n阶行列式根据性质拆成若干个n阶行列式之和，然后再求出行列式的值。

例3

D==+ =+

当n>2时，等号右边的第一行列式中第二列与后面的列成比例，所以其值为0，第二个行列式中第二列于后面的列都相等，所以其值也为0。

当n=2时，D=()()

当n=1时，D=

故D=

例4 计算行列式

D==+=0+0=0

例5．在平面上，以点

解： 第一行拆为

4． 加边法

此法是把n阶行列式适当的添加一行一列(或m行m列)得到一个n+1(或n+m)阶结行列式，使其值不变，并且要求所得的n+1(或n+m)阶行列式比较容易求出其值。

例5

D==

===1+

例6

加边法又称为升阶法，就是将原行列式中增添若干个适当的行与列，构成一个新的行列式，并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的。

同样要计算n阶行列式

5． 递推法

此法利用行列式的性质，把给定的n阶的行列式用同样形式的n-1级(或更低级)行列式表达出来，这种表达式称为递推关系式，然后，根据递推关系式求出的一般表达式，例如上面的例5按最后一列拆成