狄拉克函数和广义函数 | 线性泛函
δ\deltaδ函数和广义函数
δ\deltaδ函数起源于集中分布物理量的数学描述。
描述一个在空间连续分布的物理量QQQ，通常由两种方式。一种是局部性的，给出密度函数（分布）ρ(M)=dQdM,M∈Rn(n=1,2,3);\rho(M)=\frac{dQ}{dM},M\in \bold R^n(n=1,2,3);ρ(M)=dMdQ,M∈Rn(n=1,2,3);另一种是整体性的，通过空间任意区域Ω⊂Rn\Omega\subset \bold R^nΩ⊂Rn该物理量的总量
Q(Ω)=∫Ωρ(M)dMQ(\Omega)=\int_{\Omega}\rho(M)dM Q(Ω)=∫Ωρ(M)dM
给出。对于集中分布的物理量，也可通过这两种方式来表达。先来讨论集中分布物理量的密度函数。
（点电荷的线密度）直线L上仅在x=0x=0x=0处置一单位电荷，这可以看成是单位电荷均匀分布在小区间[−ϵ,ϵ][-\epsilon,\epsilon][−ϵ,ϵ]上当ϵ→0\epsilon \to 0ϵ→0时的极限情况，后者的密度
ρϵ={12ϵ,∣x∣≤ϵ0,∣x∣>ϵ\rho_\epsilon= \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon}, & |x|\leq \epsilon \\ 0, & |x|>\epsilon \end{cases} ρϵ={2ϵ1,0,∣x∣≤ϵ∣x∣>ϵ
且对∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，直线上的电荷总量
Q=∫−∞+∞ρϵ(x)dx=1Q=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho_\epsilon(x)dx=1 Q=∫−∞+∞ρϵ(x)dx=1
令ϵ→0\epsilon \to 0ϵ→0，可由ρϵ(x)\rho_{\epsilon}(x)ρϵ(x)的极限推得单位点电荷的分布
ρ(x)={+∞,x=00,x≠0\rho(x)= \begin{cases} +\infty , & x=0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases} ρ(x)={+∞,0,x=0x=0
且保持直线上的电荷总量为1。
将集中于x=0x=0x=0点的单位物理量引起的密度函数称为δ\deltaδ函数，记为δ(x)\delta(x)δ(x)。即δ(x)\delta(x)δ(x)是满足条件
δ(x)={∞,x=00,x≠0\delta(x)= \begin{cases} \infty, & x=0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases} δ(x)={∞,0,x=0x=0
和
∫−∞+∞δ(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1 ∫−∞+∞δ(x)dx=1
的函数。
置于x=ξx=\xix=ξ点的单位物理量引起的密度函数可用δ(x)\delta(x)δ(x)的平移δ(x−ξ)\delta(x-\xi)δ(x−ξ)表示
δ(x−ξ)={+∞,x=ξ0,x≠ξ\delta(x-\xi)= \begin{cases} +\infty, & x=\xi \\ 0, & x \neq \xi \end{cases} δ(x−ξ)={+∞,0,x=ξx=ξ
无论是关于空间还是关于时间集中分布的物理量都可用δ\deltaδ函数来描述。关于时间集中分布的物理量在实际问题中常称为脉冲。
δ\deltaδ函数有一条非常重要的基本性质，应用上称为筛选性。即对任意φ(x)∈C(R)\varphi(x)\in C(\bold R)φ(x)∈C(R)，
∫abδ(x)φ(x)dx={φ(0),0∈[a,b],0,0∈[a,b](1)\int_a^b\delta(x)\varphi(x)dx = \begin{cases} \varphi(0), & 0 \in[a,b], \\ 0, & 0\in[a,b] \end{cases} \tag{1} ∫abδ(x)φ(x)dx={φ(0),0,0∈[a,b],0∈[a,b](1)
特别地
∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0)(2)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0) \tag{2} ∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0)(2)
可以这样看，由于当x≠0x\neq 0x=0时δ(x)=0\delta(x)=0δ(x)=0，故
∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=∫−∞+∞δ(x)φ(0)dx=φ(0)∫−∞+∞δ(x)dx=φ(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(0)dx=\varphi(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=\varphi(0) ∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=∫−∞+∞δ(x)φ(0)dx=φ(0)∫−∞+∞δ(x)dx=φ(0)
因此δ(x−ξ)\delta(x-\xi)δ(x−ξ)的筛选性为
∫abδ(x−ξ)φ(x)dx={φ(ξ),ξ∈[a,b]0,ξ∈[a,b]\int_a^b\delta(x-\xi)\varphi(x)dx= \begin{cases} \varphi(\xi), & \xi\in [a,b] \\ 0, & \xi\in[a,b] \end{cases} ∫abδ(x−ξ)φ(x)dx={φ(ξ),0,ξ∈[a,b]ξ∈[a,b]
特别地
∫−∞+∞δ(x−ξ)φ(x)dx=φ(ξ)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-\xi)\varphi(x)dx=\varphi(\xi) ∫−∞+∞δ(x−ξ)φ(x)dx=φ(ξ)
式（1）就是集中分布物理量的另一种数学描述，当φ(x)=1\varphi(x)=1φ(x)=1时，式（1）说明，只要区间里包含x=0x=0x=0点，该区间内此物理量的总量为1，否则总量为0，对一般的φ(x)\varphi(x)φ(x)，式（1）是φ(x)\varphi(x)φ(x)在[a,b][a,b][a,b]上以δ(x)\delta(x)δ(x)为权函数的加权平均，同样地反映了δ(x)\delta(x)δ(x)的集中分布性。所以，也可把式（1）或式（2）作为δ(x)\delta(x)δ(x)的另一种定义。
选用式（2）作为δ(x)\delta(x)δ(x)的定义，使我们对δ\deltaδ函数有了一种全新的认识。δ\deltaδ函数实际上是一个映射，它把C(R)C(\bold R)C(R)中的元素φ(x)\varphi(x)φ(x)映成了R\bold RR中的一个数φ(0)\varphi(0)φ(0).称函数空间到数域的线性映射为函数空间上的一个线性泛函，则δ\deltaδ函数就是C(R)C(\bold R)C(R)上的一个特殊的线性泛函，用内积或积分形式记δ\deltaδ函数对应的泛函值，即
<δ(x),φ(x)>=∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0)<\delta(x),\varphi(x)>=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0) <δ(x),φ(x)>=∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0)
如果一个只在有限区间上不为0的可积函数f(x)f(x)f(x)，则由<f(x),φ(x)>=∫−∞+∞f(x)φ(x)dx<f(x),\varphi(x)>=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)dx<f(x),φ(x)>=∫−∞+∞f(x)φ(x)dx也确定了一个C(R)C(\bold R)C(R)上的线性泛函。所以，从线性泛函的角度，δ(x)\delta(x)δ(x)和f(x)f(x)f(x)并无二异。称C(R)C(\bold R)C(R)上的线性泛函为广义函数。，线性泛函的全体构成了一个广义函数空间，即为C′(R)C'(\bold R)C′(R)，称为基本函数空间C(R)C(\bold R)C(R)的对偶空间。上述δ(x),f(x)\delta(x),f(x)δ(x),f(x)均为广义函数，称δ(x)\delta(x)δ(x)为奇异广义函数，称f(x)f(x)f(x)为正则广义函数。
基本函数空间可以是不同的，定义在其上的线性泛函的全体构成的广义函数空间也就不同。例如，基本函数空间是C∞(R)C^{\infty}(\bold R)C∞(R)时，与其对偶的广义函数空间就记为(C∞(R))′(C^{\infty}(\bold R))'(C∞(R))′，上述δ(x),f(x)\delta(x),f(x)δ(x),f(x)也都是此空间中的广义函数。以后常常用φ(x),φn(x),ψ(x)\varphi(x),\varphi_n(x),\psi(x)φ(x),φn(x),ψ(x)等表示基本函数空间中的函数，而广义函数空间中的广义函数常常用f(x),fn(x),g(x)f(x),f_n(x),g(x)f(x),fn(x),g(x)等表示。
总之，从物理的角度δ(x)\delta(x)δ(x)表示一种特殊的分布，从数学的角度它表示一个基本函数空间上特殊的线性泛函，在线性泛函的基础上建立起广义函数的理论，使得在广义函数中可以通行无阻地进行各种代数和分析运算。
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