扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845

定理：对于任意整数a,b存在一堆整数x,y，满足ax+by=gcd(a,b)

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);return d;
}

当d可以整除c时，一般方程ax+by=c的一组特解求法：

　　1.求ax+by=d的特解x0,y0

　　2.ax+by=c的特解为（c/d）x0,（c/d）y0

上述方程的通解：（c/d）x0+k(b/d) ,(c/d)y0-k(a/d)

乘法逆元有自然数倒数的类似性质

乘法逆元：b,m互质，并且b整除a，则存在x，有a/b = a*x(mod m)，即a/b模m的结果和a*x模m的结果是相同的，这个x称为b的模m的乘法逆元，记作b^(-1) (mod m)

　　可得b*b^(-1) = 1（mod m)

　　那么当m是质数时，根据费马小定理，有b^(m-1)=1(mod m),那么b的逆元就是b^(m-2)

　　如果只是保证b,m互质，那么解同余方程b*x=1(mod m)可以求出x

所以当遇到除法取模运算时，可以先求出逆元，转换成乘法取模运算

/*
如果单独是个A，那么就可以分解质因数后用公式求约数个数
那么B个A相乘，其约数个数就是mul{1+p^1+p^2...+p^B*ci}
结果是比数列求和后再相乘，每项等比数列的结果是
(pi^(B*ci+1)-1)/(pi-1) mod9901,
1.pi-1不是9901的倍数，（pi-1）^(9901-2)就是逆元
2.pi-1是9901的倍数，逆元不存在，但是pi mod 9901=1。。。 先把A分解质因数，再等比数列求和(快速幂+逆元)，
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 9901int m,p[200],c[200];
void divide(int n){m=0;for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){p[++m]=i,c[m]=0;while(n%i==0) n/=i,c[m]++; }if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;
}
ll pow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;
}int main(){ll a,b,ans=1;scanf("%lld%lld",&a,&b);divide(a);//分解质因数for(int i=1;i<=m;i++){if((p[i]-1)%mod==0){ans=ans*(b*c[i]+1)%mod;continue;}//求分子和分母逆元 ll x=pow(p[i],b*c[i]+1)%mod;x=(x-1+mod)%mod;ll y=pow(p[i]-1,mod-2)%mod;ans=ans*x%mod*y%mod; }printf("%lld\n",ans);
}

求解同余方程：a*x=b(mod m)等价于a*x-b是m的倍数，等价于a*x+m*y=b，当gcd(a,m)|b时，有解

按照拓展欧几里得算法，可解得特解x=x0*b/gcd(a,m)就是原线性同余方程的一个解

　　通解为所有模m/gcd(a,m)与x同余的整数

求解同余方程：noip2012：a*x=1(mod b)的最小整数解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long longll a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll z=x; x=y,y=z-y*(a/b);return d;
}
int main(){cin >> a >> b;exgcd(a,b,x,y);//x可能是负数 cout << (x%b+b)%b<<endl;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/zsben991126/p/10238553.html

扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845相关推荐

CodeForces - 724C Ray Tracing(扩展欧几里得解方程)
题目链接:点击查看题目大意:在 n∗mn*mn∗m 的矩阵中,从点 (0,0)(0,0)(0,0) 发射一个小球,以四十五度的方向出发,速度是 2\sqrt{2}2,当碰到壁时,会进行反射:当碰到 ...
扩展欧几里得解方程小记
本来以前学习的时候就懵懵懂懂,长时间不用就完全不会了.. 首先对于扩展欧几里得,对于最一般的方程形式 ax+by=gcd(a,b),此方程一定有整数解,扩展欧几里便得能够求出其中的一组整数解x0,y0 ...
HDU 5514 Collision（扩展欧几里得+解方程）——2014ACM/ICPC亚洲区北京站
传送门 Matt is playing a naive computer game with his deeply loved pure girl. The playground is a recta ...
欧几里得定理与扩展欧几里得
3,欧几里德定理:(射影定理) 定理指出素数是无限的. a*b*c+1要么是素数要么其质因子就是素数. 扩展欧几里得: 扩展欧几里得算法是欧几里得(又叫辗转相除法)的扩展.已知整数a.b,扩展欧几里得 ...
求解线性同余方程--扩展欧几里得
资料来源:https://blog.csdn.net/ //求解ax=b(mod m) 返回0为无解,否则返回gcd(a,m)个mod m意义下的解,用X[]存 int mod(int a, int ...
专题·扩展欧几里得定理【including 求解二元一次方程，线性同余方程
初见安~这里是基础数论专题(3)~[详见数论专栏] p.s:本文章假设你已经掌握了欧几里得算法--辗转相除法求最大公约数(gcd) 一.二元一次方程形如的含有两个未知数且最高次数为1的方程我们称之为 ...
求逆元（线性求逆元）及其扩展欧几里得
线性求逆元模板: int inv[maxn]; void initInverse(){inv[1] = 1;for(int i = 2; i <= maxn; i++)inv[i] = (p - ...
扩展欧几里得求多组解CodeForces - 1244C
扩展欧几里得求多组解扩展欧几里得可以求得满足ax+by = c的一组解(这里c%gcd(a,b)要等于0):假如求得的解为(x0 , y0),G = gcd(a , b),这时我们可以发现(x0 + ...
扩展欧几里得定理详解和运用(就不信你看不懂！）
1 :扩展欧几里得内容: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得ax+by =c.(若 c%gcd(a,b)!=0)则无解所以我们求ax+by=c是不是可以转化为求 ax+by=k ...

扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845

扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845相关推荐

最新文章

热门文章

扩展欧几里得，解线性同余方程 逆元 poj1845

扩展欧几里得，解线性同余方程 逆元 poj1845相关推荐

最新文章

热门文章

扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845

扩展欧几里得，解线性同余方程逆元 poj1845相关推荐