欧几里得定理与扩展欧几里得

3,欧几里德定理:（射影定理）
定理指出素数是无限的。

a*b*c+1要么是素数要么其质因子就是素数。

扩展欧几里得：

扩展欧几里得算法是欧几里得（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足

如何求出第一组最小整数解：如果c % gcd(a,b)!=0 那么没有最小整数解。

x = x1 * c/gcd(a,b), y = y1 * c/gcd(a,b)
然后你要判断整数解的话, 也是简单, 如果(x,y)是一组解, (x + b/gcd(a,b), y - a/gcd(a,b))也是一组解
(x - b/gcd(a,b), y + a / gcd(a,b))也是一组解
我们可以先求出x是正整数的一组解, 用取模既可
x = (x % b/gcd(a,b) + b/gcd(a,b)) % b/gcd(a,b) //这里保证x >= 0
y = (c - ax) / b, 这样的x已经是最接近0的数,于是不能在减少了
所以
如果y < 0, 那么无正整数解
如果y > 0有正整数解.

扩展欧几里得还可以求逆元，ax+by=1.则最小正整数x是b模a的逆元。

#include <iostream>
using namespace std;
int x,y,q;
int exgcd(int a,int b)
{if (b==0){x=1;y=0;q=a;return 0;}else{exgcd(b,a%b);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;}return 0;
}
int main()
{int a,b;while (~scanf("%d%d",&a,&b)){if (a<b){a=a+b;b=a-b;a=a-b;}exgcd(a,b);printf("%d = %d * %d + %d * %d\n",q,x,a,y,b);}
}

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

47=30*1+17
30=17*1+13
17=13*1+4
13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

17=47*1+30*(-1) //式1
13=30*1+17*(-1) //式2
4=17*1+13*(-1) //式3
1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

1=13*1+4*(-3) //应用式3
1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
1=13*4+17*(-3) //应用式2
1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
1=30*4+17*(-7) //应用式1
1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

计算

gcd(a, b).

若

gcd(a, b)

不能整除

，则方程无整数解；否则，在

方程的两边同除以

gcd(a, b)

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