Problem Description

Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is

Then we can write,

For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1012).

Output

For each case, print the case number and the result.

Sample Input

4
3
10
100
1000

Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 5
Case 3: 83
Case 4: 947

题意：t 组数据，每组给出 1 个数 n，求 1~n 中，所有数的约数和是偶数的数的个数

思路：

通过给的

可以发现，式子中的每一项都是一个等比数列的和

那么，

因此，对于式子，只要其中的一项为偶数，那么就一定为偶数，故而只要找到一项为偶数就可以

观察式子可以发现：当为偶数时，那么一定为偶数，而，那么由于 1+偶+偶+...+偶=奇，因此一定是一个奇数，那么，只有当为奇数时， 才可能为偶数

再看，：

当为偶数时，此时有偶数个奇数项，则：1+奇+奇+...+奇=奇，此时仍为一个奇数
当为奇数时，此时有奇数个奇数项，则：1+奇+奇+...+奇=偶，此时 才是一个偶数

因此，对 n 做素因子分解，只要存在一个 均为奇数，那么就一定为偶数

然而这样做会 TLE，因此还要进一步的推导：

我们可以考虑使用总数-不满足的数=满足的数来求解，也即求出所有不均为奇数的数

当素因子分解后，有四种形式：奇^奇、偶^偶、奇^偶、偶^奇，根据前面的分析，只有当均为奇数时，才为偶数

那么，如果当素因子分解后，全是 偶^偶、奇^偶、偶^奇 的形式，因子和就一定为奇数

由于 2 是唯一的偶素数，我们将这个特殊的数拿出来分开考虑，根据唯一分解定理

那么：

当为偶数时，有偶^偶、奇^偶两种情况，其能拆成某个数的平方，即：偶^偶=( 偶^(偶/2) )^2、奇^偶=( 奇^(偶/2) )^2，那么偶^奇、奇^偶则两种情况就被 n 以内的平方数 给包含了，即有种情况
当为奇数时，有偶^奇一种情况，由于其一定能拆成 2*x^2 的形式，那么偶^奇的情况就被 n 以内的 2*平方数 给包含了，即有种情况

故最后结果为：

Source Program

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#define PI acos(-1.0)
#define E 1e-9
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
const int MOD=10007;
const int N=1000000+5;
const int dx[]= {-1,1,0,0};
const int dy[]= {0,0,-1,1};
using namespace std;
int main(){int t;scanf("%d",&t);int Case=1;while(t--){LL n;scanf("%lld",&n);LL temp1=(LL)sqrt(n);LL temp2=(LL)sqrt(n/2);printf("Case %d: %lld\n",Case++,n-temp1-temp2);}return 0;
}

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Sigma Function（LightOJ-1336）

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