python杨辉三角函数_Python算法之六：杨辉三角

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知识提要

1、range、lambda、reduce

2、二项式系数、组合数、杨辉三角

3、列表过滤语法

问题描述

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。给定一个非负索引n，返回杨辉三角的第n行。

例如：

输入：0

返回：[1]

输入：1

返回：[1, 1]

输入：2

返回：[1, 2, 1]

杨辉三解又叫Pascal’s Triangle，为了表述方便，在下文中，我们将用P(n)来代码杨辉三解的第n行。

问题分析

二项式系数，是二项(x+y)^n展开后各项的系数，第r列的值为C(n, r)。

杨辉三角是二项系数的几何排列，其相临两个行存在递推关系，如动图所示(图片来源于网络，若侵权，请通知删除)，以及组合数的性质，我们可以推算出如下递推规律：

C(n, 0) = 1

C(n, n) = 1

C(n, r) = C(n - 1, r – 1) + C(n – 1, r) # n>1且r>0

所以，我们解决此题目的方式有两种，一种是公式法，一种是递推法。我们将首先介绍公式法，然后介绍递推法。本文的重点是介绍递推法，我们将一步步地简化递推法的空间复杂度。

公式法

根据二项式展开式的规律，我们知道：

P(n) = [C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n)]

所以我们只需要实现一个求组合数的函数即可以解决问题。

from functools import reduce

# 获取组合数C(n, m)

def combination(n, m):

if n <= m or m <= 0: return 1

if m > n / 2:

m = n - m

func = lambda a, b: a * b

val1 = reduce(func, range(m + 1, n + 1))

val2 = reduce(func, range(1, n - m + 1))

return val1 // val2

# 获取杨辉三角第n行

def GetTriangleRow(n):

return [combination(n, i) for i in range(n + 1)]

递推法

我们可以根据递推规律，构建杨辉三角，返回杨辉三角的最后一行即可。

# 获取杨辉三角第n行

def GetTriangleRow(n):

matrix = [[1] * (col + 1) for col in range(0, n + 1)]

for row in range(2, n + 1):

for col in range(1, row):

matrix[row][col] = matrix[row - 1][col - 1] + matrix[row - 1][col]

return matrix[n]

空间复杂度为O(n)的递推法

在第3节中，构建杨辉三角，需要存储大量额外临时空间matrix，matrix的元素数量为n(n+1)/2，所以空间复杂度为O(n^2)。

实际上，根据递推公式，我们只需要不停地存储P(n-1)和P(n)的结果即可，用此方法，空间复杂度可以降低为O(n)。虽然我们用到的空间是2n，但O(2n)也是O(n)。

def GetTriangleRow(n):

size = n + 1

result = [1] * size

for cols in range(3, size + 1):

cur_row = [1] * cols

for j in range(1, cols - 1):

cur_row[j] = result[j - 1] + result[j]

result = cur_row

return res

进一步减少递推法的空间复杂度

在第4节中，我们已经达到现了O(2n)的空间复杂度的效果。但如果我们非得实现真正意义上的O(n)也是可以做到的。

组合数公式有如下的规律：

C(n, r) = C(n, n – r)

根据这个规律，我们可以一开始便初始化P(n)的空间。在每一次迭代中，用P(i-1)的后一半的数值来推算出P(i)前一半的数值，并将P(i)前一半的结果存储在原来存储P(i-1)前一半数值的地方。最后用P(i)前一半得到P(i)后一半的结果。

由于P(i-1)中间项的值有可能会在推算P(i)的过程中被覆盖，所以我们需要首先单独推算并存储P(i)的中间一项。请关注代码中的mid_val变量。

def GetTriangleRow(n):

size = n + 1

result = [1] * size

for cols in range(2, size):

m = cols // 2

mid_val = result[m - 1] + result[m]

for j in range(1, m):

result[j] = result[cols - j] + result[cols - j - 1]

result[m] = mid_val

for j in range(m + 1, cols):

result[j] = result[cols - j]

return result● 扫码关注我嗄嘎嘎

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