HDU-6750：Function（容斥）

Function
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Problem Description
学皇最近发明了一种新的玩具––学皇筛。他对于最大公约数为 111 的数对特别着迷，想知道满足以下奇妙性质的 nnn 的因子集合。记 nnn 的一个因子为 ttt，若 ttt 与 nt\frac nttn 的最大公约数为 1，则称 nnn 的这个因子为“有趣的”。X 同学已经很熟练地掌握了如何求 nnn 的所有“有趣”因子的和了（记为 f(n)f(n)f(n)），但他想知道 S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n)S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n)S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n) 是多少。他觉得累加所有的fff很枯燥，于是询问是否有快速的方法求 S(N)S(N)S(N)。

Input
第一行一个整数 test(1≤test≤10)test(1≤test≤10)test(1≤test≤10) 表示数据组数。

接下来 testtesttest 行，每行含一个正整数 N(1≤N≤1012)N(1≤N≤10^{12})N(1≤N≤1012)。

Output
对于每组数据，一行一个整数，表示 S(n)S(n)S(n)。由于答案可能很大，输出答案模 109+710^9+7109+7 后的值即可。

Sample Input
3
1
10
100

Sample Output
1
76
6889

思路：因为n≤1012n\le 10^{12}n≤1012，那么我们应该计算出[1,⌊n⌋][1,\lfloor\sqrt{n}\rfloor][1,⌊n⌋]里每个数作为因子对答案的贡献。
对于任意因子i(1≤i≤⌊n⌋)i(1\le i\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor)i(1≤i≤⌊n⌋)，假设cal(i,m)cal(i,m)cal(i,m)为iii在区间[1,m][1,m][1,m]的贡献，我们只需求出[1,m][1,m][1,m]中与iii互质的数的个数cntcntcnt以及他们的和sumsumsum，那么iii对答案的贡献即是i∗cnt+sumi*cnt+sumi∗cnt+sum。
考虑去重以及乘积范围，我们所求互质数的所在区间应为[i+1,⌊ni⌋][i+1,\lfloor\frac n i\rfloor][i+1,⌊in⌋]，及iii对答案的贡献应为cal(i,⌊ni⌋)−cal(i,i),其中i∈[1,⌊n⌋]cal(i,\lfloor\frac n i\rfloor)-cal(i,i),其中i\in[1,\lfloor\sqrt{n}\rfloor]cal(i,⌊in⌋)−cal(i,i),其中i∈[1,⌊n⌋]。
现在只需要求出cal(i,j)cal(i,j)cal(i,j)即可，容斥即可解决。
但是对[1,106][1,10^6][1,106]内的每个数做容斥的复杂度还是有点太高，考虑到每个数容斥所需要的因子其实大部分都是重复的，可以用类似素数筛的方法对容斥进行优化，代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1000000;
typedef long long ll;
int v[N+10],cnt[N+10];
void init()
{memset(cnt,0,sizeof cnt);for(int i=2;i<=N;i++){if(v[i])continue;for(int j=i;j<=N;j+=i){v[j]=1;cnt[j]++;}}memset(v,0,sizeof v);for(int i=2;i<=N;i++){if(v[i])continue;for(int j=2*i;j<=N;j+=i){if((j/i)%i==0)v[j]=1;}}
}
ll cal(ll i,ll m,ll j)
{ll cnt = (m/i)%MOD;ll sum = (i+cnt*i%MOD)%MOD*cnt%MOD*500000004%MOD;return (cnt*j%MOD+sum)%MOD;
}
int main()
{init();int T;cin>>T;while(T--){ll n;scanf("%lld",&n);ll ans=n%MOD-1+(1+n)%MOD*(n%MOD)%MOD*500000004%MOD;ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;for(ll i=2;i*i<=n;i++){ans+=(n/i-i)%MOD*i%MOD+(i+1+n/i)%MOD*((n/i-i)%MOD)%MOD*500000004%MOD;ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;}for(ll i=2;i*i<=n;i++){if(v[i])continue;ll tmp = 0;for(ll j=i;j*j<=n;j+=i){tmp+=(cal(i,n/j,j)-cal(i,j,j)+MOD)%MOD;tmp%=MOD;}if(cnt[i]%2)ans-=tmp;else ans+=tmp;ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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