高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。

在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。

本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：

一、利用一次函数的单调性

【例题1】已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,

求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .

解：

得 y = 5/3(1 - x), z = 2x - 1

∴ w = 9x - 6

又 x , y , z 非负，

依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知

当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,

当 x= 1 时，Wmax = 3 .

注：

再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.

对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .

二、利用二次函数的性质

【例题2】设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，

当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？

解：

∵ α , β 为方程的两个实数根，

∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,

令 y = α^2 + β^2 , 则有

又由原方程由实数根可知，

∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .

而二次函数的顶点 (1/4，-17/16)不在此范围内，根据二次函数的性质知，

y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 (-∞，-1]∪[2，+∞)的抛物线，

比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，

当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .

注：

利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 .

【例题3】如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，

点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .

分析：

由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB 的距离最大 .

解：

设 P 点坐标为 (x0 , y0),

∵ A , B 在直线 y = 3x 上，

∴

联立抛物线与直线方程，可得

xA = -4 , xB = 1 ,

∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,

则有

∴

当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 (-3/2 , 7/4).

注：

在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .

三、利用二次方程的判别式

欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程，

注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，

所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .

【例题4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求

的最值 .

解：原式可化为

∵ x ∈ R ,

∴

解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，

即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，

∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .

当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;

当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 ∉ [ 0 , 1 ] .

又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,

∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .

注：

① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；

② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，

如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；

③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得，

即要注意验根 .

四、利用重要不等式

【例题5】设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .

求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .

解：

令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,

∴ u ≤ 4√23 ,

( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号)

故

注：

这里是应用柯西不等式，在应用公式时，

如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .

五、利用三角函数的有界性

对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，

如正、余弦函数的最大(小)值很明显：y = asinx + bcosx (a , b ≠ 0)

引入辅助角 θ，则

其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .

【例题6】求

的最值 .

解法一：(利用降幂公式)

解法二：(用判别式法)

注：本例还可以用万能公式等方法来求解 .

六、利用参数换元

对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 .

【例题7】求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .

解：

原函数变为

∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,

∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .

注：这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .

七、利用复数的性质

【例题8】已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 .

解法一：

设 z = 2(cosθ + isinθ) (∵ | z | = 2)

故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .

解法二：

依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,

有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，

即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，

∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .

注：

求复数模的最值通常可用代数法，三角法(解法一)，

复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,

此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.

八、利用数形结合

有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.

【例题9】求

的最值 .

解：将函数式变形为

其几何意义是在直角坐标系中，动点 P(cosx , sinx)和定点 A(-2 ， -1)连线的斜率，

动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：

知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,

又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,

tg∠A = tg2θ = 2tgθ/(1 - tg^2 θ)= 4/3 ,

即 kAC = 4/3 ,

故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .

注：

形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，

通常都可视作点 (g(x) ，f(x) ) 与点 (b , a)的连线的斜率 .

运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，

将代数式通过转化、变形、给予几何解释，

通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .

高中数学100个知识点总结！