文章目录

1 Dijkstra算法基本原理
2 算法过程图解1（有向图）
3 算法过程图解2（无向图）
4 C++代码
- 4.1 案例1代码
- 4.2 案例2邻接矩阵定义
- 4.3 案例2代码Dijkstra算法

1 Dijkstra算法基本原理

Dijkstra算法是根据贪心算法实现的，首先找出当前点到所有能到达的点之间最短的距离，然后松弛一次继续循环。所谓松弛一次，就是在已经访问过的点中遍历一遍，看看有没有更近的，如果有更近的就更新距离。这样每次找最近的可达点+松弛遍历历史节点的操作，一直重复就能找到最短路径。

算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本步骤

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。

然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；

接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；

接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。

…

重复该操作，直到遍历完所有顶点。

2 算法过程图解1（有向图）

首先看一个图，目标是找到从1到6的最短距离

首先用一个6*6的二维数组存储距离信息，纵坐标为起点，横坐标为终点，对应的坐标值就是起点到终点的距离，其中，不可达点的距离为∞\infty∞，到自身的距离为0。

接着用一个一维数组来存储路径

从点1开始，遍历二维数组的第一行，发现距离1是最小的，对应点1到点2，选定点2；松弛，没有更近值；

从点2开始，遍历二维数组的第二行，发现距离3是最小的，对应点2到点4，选定点4；松弛，没有更近值；

从点4开始，遍历二维数组的第四行，发现距离4是最小的，对应点4到点3，选定点3；松弛，没有更近值；

从点3开始，遍历二维数组的第三行，发现距离5是最小的，对应点3到点5，选定点5；松弛，没有更近值；

从点5开始，遍历二维数组的第五行，发现距离4是最小的，对应点5到点6，选定点6；松弛，没有更近值；

点6，已经到达目标节点，遍历结束。

3 算法过程图解2（无向图）

注意：B（23）应该为B（13）

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(13),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

4 C++代码

4.1 案例1代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];
int n,m;//n个点，m条边void Init ()
{memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}
}void Getmap()
{int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}  }void Dijkstra(int u)
{memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]){dis[i]=map[temp][i]+dis[temp];}}}}int main()
{scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;
}

4.2 案例2邻接矩阵定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{char vexs[MAX];       // 顶点集合int vexnum;           // 顶点数int edgnum;           // 边数int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{char start; // 边的起点char end;   // 边的终点int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。

vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

4.3 案例2代码Dijkstra算法

/** Dijkstra最短路径。* 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。** 参数说明：*        G -- 图*       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。*     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。*     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。*/
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{int i,j,k;int min;int tmp;int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。// 初始化for (i = 0; i < G.vexnum; i++){flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。}// 对"顶点vs"自身进行初始化flag[vs] = 1;dist[vs] = 0;// 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。for (i = 1; i < G.vexnum; i++){// 寻找当前最小的路径；// 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。min = INF;for (j = 0; j < G.vexnum; j++){if (flag[j]==0 && dist[j]<min){min = dist[j];k = j;}}// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径flag[k] = 1;// 修正当前最短路径和前驱顶点// 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。for (j = 0; j < G.vexnum; j++){tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) ){dist[j] = tmp;prev[j] = k;}}}// 打印dijkstra最短路径的结果printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);for (i = 0; i < G.vexnum; i++)printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}

参考文献

Dijkstra算法（一）之C语言详解
https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html

Dijkstra算法图文详解
https://blog.csdn.net/lbperfect123/article/details/84281300

动画理解Dijkstra算法过程
https://blog.csdn.net/jzj1993/article/details/39157055

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