牛客 - 牛牛的最大兴趣组(思维+数论)

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题目大意：给出 nnn 个数，要求选出最多的数，使得任意两个数的乘积不能是三次平方数，三次平方数，诸如23=8,33=272^3=8,3^3=2723=8,33=27

题目分析：这个模型和前两天 cfcfcf 上遇到的一个样：CodeForces - 1497E2

这个模型的特点就是，假设要使得任意两个数的乘积不能是 mmm 次平方数的话，当我们将所有的数字中，出现次数为 mmm 的倍数的质因子都筛掉后，剩下的数一定会两两匹配。具体到某个质因子来说，假设其出现次数为 xxx，那么其需要和出现次数为 m−xm-xm−x 的数字匹配，其乘积后该质因子的出现次数才能被 mmm 整除

下面就将本模型扩展到 mmm 次平方数来思考如何求解

又因为经过上述的处理后，除了 111 之外，其他的数都有且仅有唯一一个数字与其匹配。也就是对于每个数来说，只有一个数字与其乘积会不满足条件，所以这两个数字肯定不能同时出现。既然如此贪心去想的话，保留出现次数较多的那个数字显然是最优的

到此本题的思路就已经解决了，现在留下来两个难点需要我们逐个思考：

如何筛掉出现次数为 mmm 倍的质因子
在筛完的数字中，如何快速找到与其对应的那个数字，即满足两个数的乘积是 mmm 次平方数

针对第一点，最朴素的做法就是 O(n)O(\sqrt{n})O(n) 的唯一分解定理了，对于出现次数可以被 mmm 整除的质因子直接舍弃即可，可惜时间复杂度不允许

然后考虑也比较常用的，预处理出每个数字的最小质因子，然后 O(logn)O(logn)O(logn) 去筛质因子，这种实现时间复杂度可行，但是我们无法预处理到 2e92e92e9 的数据范围

其实我们不难发现，并不需要枚举出所有的质因子然后判断，我们的目标是为了筛掉所有 mmm 次平方数的数字，换句话说我们可以预处理出 mmm 次平方的数字，然后用这些数字去筛即可，而这样的 mmm 次平方数，最多有 2e9m\sqrt[m]{2e9}m2e9 个数字，又因为合数总是可以被分解成质数，所以我们只需要保留质因子即可，这样有效数字最终约等于 2e9mlogm\frac{\sqrt[m]{2e9}}{logm}logmm2e9，针对本题而言，当 m=3m=3m=3 的时候，这个数值约等于 200200200

那么还剩下一个问题，如何找到对应的数字呢，实际上最朴素的做法还是 O(n)O(\sqrt{n})O(n) 去唯一分解这个数，如果对于某个质因子 ppp，其出现次数是 xxx，那么其对应的那个数字， ppp 的出现次数一定是 m−xm-xm−x

到此为止，网上的部分题解，都是 O(nn)O(n\sqrt{n})O(nn) 实现的，因为本题数据水了，所以给放过去了，其实一组很简单的 hackhackhack 样例就是， nnn 个 1e9+71e9+71e9+7，直接就把复杂度卡成至少 1e5∗1e4=1e91e5*1e4=1e91e5∗1e4=1e9 起步了

所以该如何去查找对应的那个数字呢，假设我们要找 xxx 对应的数字，只需要将 xxx 变成 xm−1x^{m-1}xm−1，然后再将出现次数为 mmm 的质因子筛掉即可，具体原理就是：对于任意两个相邻的自然数来说，都是互质的，所以 gcd(m−1,m)=1gcd(m-1,m)=1gcd(m−1,m)=1，对于公式 a+a∗(m−1)=a∗ma+a*(m-1)=a*ma+a∗(m−1)=a∗m，两边同时对 mmm 取模得到 a+a∗(m−1)=0∣ma+a*(m-1)=0|ma+a∗(m−1)=0∣m，所以将 xxx 变为 xm−1x^{m-1}xm−1 然后再将出现次数为 mmm 的倍数的质因子筛掉就可以找到对应的数字了

总的时间复杂度就是 O(n2e9m)O(n\sqrt[m]{2e9})O(nm2e9)，对于本题而言就是 O(200∗n)O(200*n)O(200∗n)，实现的时候我套了个 mapmapmap ，理论上说应该是不可以的，但因为本题数据水，所以是可以过的，如果是正解的话我感觉需要打个哈希降一下复杂度，大概就是 unordered_map 了

代码：

// Problem: 牛牛的最大兴趣组
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7604/C
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
bool vis[N];
vector<int>pri;
map<LL,int>mp;
void init() {for(int i=2;i<=2000;i++) {if(vis[i]) {continue;}for(int j=i+i;j<=2000;j+=i) {vis[j]=true;}}for(int i=2;1LL*i*i*i<=2e9;i++) {if(!vis[i]) {pri.push_back(i*i*i);}}
}
LL change(LL x) {for(auto it:pri) {while(x%it==0) {x/=it;}}return x;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {LL x;read(x);mp[change(x)]++;}int ans=0;for(auto &it:mp) {if(it.first==1) {ans++;continue;}LL rk=change(it.first*it.first);if(!mp.count(rk)) {ans+=it.second;} else {ans+=max(it.second,mp[rk]);it.second=mp[rk]=0;}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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