0. 定义

递推公式如下：
a n + 1 = p ⋅ a n + h (0-1) a_{n+1}=p\cdot a_n+h\tag{0-1} an+1=p⋅an+h(0-1)
其中n是正整数；
当 p ≠ 0 , h = 0 p\neq 0, h=0 p=0,h=0时， { a n } \{a_n\} {an}是等比数列
当 p = 1 p=1 p=1时， { a n } \{a_n\} {an}是等差数列；
特别地，当 p = 1 , h = 0 p=1,h=0 p=1,h=0时， { a n } \{a_n\} {an}是常数列；
当 p ≠ 0 o r 1 , h ≠ 0 p\neq 0\ or\ 1, h\neq 0 p=0 or 1,h=0时，就不是平凡情况，下面我们重点讲解。

1. p是常数，h是常数

1.1. 待定系数法

我们希望构造出一个等比数列 a n + 1 + k a_{n+1}+k an+1+k。 ( 0 − 1 ) (0-1) (0−1)两边同时加上k（待定系数）：
a n + 1 + k = p ⋅ a n + h + k = p ( a n + h + k p ) (1-1) a_{n+1}+k=p\cdot a_n+h+k=p(a_n+\frac{h+k}{p}) \tag{1-1} an+1+k=p⋅an+h+k=p(an+ph+k)(1-1)
为了满足等比数列的定义，应该有 k = h + k p k=\frac{h+k}{p} k=ph+k，解得 k = h p − 1 k=\frac{h}{p-1} k=p−1h
因此
a n + 1 + h p − 1 = p n ⋅ ( a 1 + h p − 1 ) (1-2) a_{n+1}+\frac{h}{p-1}=p^n\cdot (a_1+\frac{h}{p-1}) \tag{1-2} an+1+p−1h=pn⋅(a1+p−1h)(1-2)
则 { a n } \{a_n\} {an}的通项为：
a n = ( a 1 + h p − 1 ) p n − 1 − h p − 1 (1-3) \begin{align*} a_n&=(a_1+\frac{h}{p-1})p^{n-1}-\frac{h}{p-1}\\ \end{align*}\tag{1-3} an=(a1+p−1h)pn−1−p−1h(1-3)

1.2. 逐项展开法

a n = p ⋅ a n − 1 + h = p ( p a n − 2 + h ) + h = p 2 a n − 2 + p h + h = p n − 1 a 1 + p n − 2 h + ⋯ + p h + h = p n − 1 a 1 + h ( 1 − p n − 1 1 − p ) = p n − 1 ( a 1 + h p − 1 ) − h p − 1 (1-4) \begin{align*} a_{n}&=p\cdot a_{n-1}+h\\ &=p(pa_{n-2}+h)+h\\ &=p^2a_{n-2}+ph+h\\ &=p^{n-1}a_1+p^{n-2}h+\cdots+ph+h\\ &=p^{n-1}a_1+h(\frac{1-p^{n-1}}{1-p})\\ &=p^{n-1}(a_1+\frac{h}{p-1})-\frac{h}{p-1}\\ \end{align*}\tag{1-4} an=p⋅an−1+h=p(pan−2+h)+h=p2an−2+ph+h=pn−1a1+pn−2h+⋯+ph+h=pn−1a1+h(1−p1−pn−1)=pn−1(a1+p−1h)−p−1h(1-4)

2. p是常数，h是与n有关的变量

不妨写成如下递推式
a n + 1 = p ⋅ a n + h ⋅ q n (2-1) a_{n+1}=p\cdot a_n+h\cdot q^n\tag{2-1} an+1=p⋅an+h⋅qn(2-1)
其中q为常数。
上式两边同时除以 p n p^n pn:
a n + 1 p n = a n p n − 1 + h ( p q ) n (2-2) \frac{a_{n+1}}{p^n}=\frac{a_n}{p^{n-1}}+h(\frac{p}{q})^n\tag{2-2} pnan+1=pn−1an+h(qp)n(2-2)
令 b n = a n p n − 1 b_n=\frac{a_n}{p^{n-1}} bn=pn−1an，则有
b n = b n − 1 + h ( p q ) n − 1 = b n − 2 + h ( p q ) n − 2 + h ( p q ) n − 1 = b 1 + h ( p q ) 1 + ⋯ + h ( p q ) n − 2 + h ( p q ) n − 1 = b 1 + h ( q p − ( q p ) n 1 − q p ) (2-3) \begin{align*} b_n&=b_{n-1}+h(\frac{p}{q})^{n-1}\\ &=b_{n-2}+h(\frac{p}{q})^{n-2}+h(\frac{p}{q})^{n-1}\\ &=b_{1}+h(\frac{p}{q})^{1}+\cdots+h(\frac{p}{q})^{n-2}+h(\frac{p}{q})^{n-1}\\ &=b_1+h\left(\frac{\frac{q}{p}-(\frac{q}{p})^n}{1-\frac{q}{p}}\right)\\ \end{align*}\tag{2-3} bn=bn−1+h(qp)n−1=bn−2+h(qp)n−2+h(qp)n−1=b1+h(qp)1+⋯+h(qp)n−2+h(qp)n−1=b1+h(1−pqpq−(pq)n)(2-3)
则
a n = p n − 1 b n = a 1 p n − 1 + h q p n − 1 − q n p − q (2-4) \begin{align*} a_n&=p^{n-1}b_n\\ &=a_1p^{n-1}+h\frac{qp^{n-1}-q^n}{p-q}\\ \end{align*}\tag{2-4} an=pn−1bn=a1pn−1+hp−qqpn−1−qn(2-4)

一阶线性差分方程通项公式求解相关推荐

matlab求解常系数线性差分方程,用matlab实现线性常系数差分方程的求解
用matlab实现线性常系数差分方程的求解数字信号处理课程设计题目: 试实现线性常系数差分方程的求解学院: 专业: 班级: 学号: 组员: 指导教师: 题目:用Matlab实现线性常系数差分方程 ...
Matlab 隐函数方程求解最小二乘法拟合一阶线性拟合二阶拟合传感器实验
九层妖塔起于垒土 Matlab 最小二乘法拟合一阶线性拟合&传感器实验一.代码二.数据处理结果三.Notes 一.代码 %电容传感器位移实验数据最小二乘法一阶线性拟合 x = ...
[每日一氵]求解一阶线性常系数微分方程组
求解一阶线性常系数微分方程组关键字有这么多: 一阶线性常系数微分方程组直接给例子吧: d x 1 d t = x 2 d x 2 d t = x 3 d x 3 d t = − 6 x 1 ...
python求解一阶线性偏微分方程通解举例
python求解一阶线性偏微分方程的通解举例 Python求解偏微分方程也是其一个应用方面,下面举例说明. 一.问题: 求一阶线性偏微分方程 x ∂ f ( x , y ) ∂ x − y ∂ f ( ...
利用MATLAB求解一阶线性常系数非齐次微分方程组
用矩阵函数求解一阶线性常系数非齐次微分方程组主要步骤 1.问题形式 2.求矩阵函数 3.代入矩阵A的指数函数得最终解主要步骤本来想用在矩阵论期中开卷考试验证计算结果的,结果一个解方程组的题也没考 ...
第四讲一阶线性ODE换元法
一,一阶线性ODE通常只有两种解法: 分离变量法和积分因子法求解其他一阶微分方程需要先用换元法,化成可用以上两种方法求解的方程二,尺度变换(拉伸或压缩坐标轴的方法):,,a.b是常数尺度变换的好 ...
线性差分方程及其通解的一般求法
本文介绍了线性差分方程的通解,从特征方程以及延迟算子两个方面介绍了相关概念.并且以AR(2)模型为例,详细介绍了2元线性差分方程的通解情况,另外有若干例题.最后还给出了此类问题矩阵形式,但才疏学浅未能 ...
0704一阶线性微分方程-微分方程
文章目录 1 线性方程 1.1 定义 1.2 解法(常数变易法) 1.3 例题 2伯努利方程 3 简单变量替换解方程结语 1 线性方程 1.1 定义一阶微分方程:形式上能化成 d y d x + ...
MMA-利用Methematica推导一阶线性微分方程
Methematica是一款符号运算的利器,可以完成各种复杂的符号运算.在这里我们尝试利用这一软件进行一阶微分方程的推导.首先回顾一下一阶微分方程的解法. 一阶线性微分方程齐次方程通解首先将非齐次 ...

一阶线性差分方程通项公式求解

文章目录