文章目录

前言
系列文章
3.2 割边、割集、割点
- 3.2.1 割边与割集
- - 定理3.4
  - 推论3.4
  - 定理3.5
  - 补充知识
  - 定义3.3：割集
  - 定义3.4
  - 定理3.6
  - 生成树与割集的对比
- 3.2.2 割点
- - 定理3.5
  - 推论3.7.1
  - 推论3.7.2
结语

前言

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度

3.2 割边、割集、割点

3.2.1 割边与割集

定理3.4

设GGG是连通图，e∈E(G)e\in E(G)e∈E(G)，则eee是GGG的割边的充要条件是eee不含在圈中

证明

前提条件是：GGG是连通图，e∈E(G)e\in E(G)e∈E(G)

证必要性：e是割边⇒e是割边\Rightarrowe是割边⇒eee不含在圈中

因为eee是GGG的割边，所以G−eG-eG−e不连通

若eee在GGG中的一个圈上，那么G−eG-eG−e依然会是连通的，产生矛盾

所以eee一定是不含在圈中

证充分性：eee不含在圈中⇒\Rightarrow⇒e是割边e是割边e是割边

设e=uve = uve=uv不在GGG的任何一个圈上

所以u,vu,vu,v之间必定只存在一条路径

若还存在其他一条路径P(u,v)P(u,v)P(u,v)，那么P(u,v)+eP(u,v) +eP(u,v)+e则会构成一个圈，与假设相矛盾

所以G−eG-eG−e不连通，故eee是GGG的割边

推论3.4

设GGG连通，则GGG是树的充要条件是GGG的每条边都是GGG的割边

定理3.5

设TTT是连通图GGG的一颗生成树，e∉E(T)e\notin E(T)e∈/E(T)，但e∈E(G)e\in E(G)e∈E(G)，则T+eT+eT+e含有唯一圈

证明

设e=xy∉E(T)e=xy\notin E(T)e=xy∈/E(T)

则TTT中一定存在唯一一条路径PxyP_{xy}Pxy

TTT是生成树，其中任意两个顶点有且仅有一条路径

所以Pxy+eP_{xy}+ePxy+e便是含在T+eT+eT+e中的一个圈

又因为PxyP_{xy}Pxy在TTT中是唯一的

树中任意两个顶点有且仅有一条路径，具有唯一性

所以圈Pxy+eP_{xy}+ePxy+e也是唯一的

补充知识

设S⊂V,S≠ϕ,S′=V−S≠ϕS \subset V, S \neq \phi ,\quad S^{'}=V-S\neq\phiS⊂V,S=ϕ,S′=V−S=ϕ

则用[S,S′][S,S^{'}][S,S′]表示一个端点在SSS，另一个端点在S′S^{'}S′的全体边组成的集合

显然[S,S′][S,S^{'}][S,S′]是一个边断集

定义3.3：割集

设GGG连通，若[S,S′][S,S^{'}][S,S′]只把GGG断成两个分支，则称[S,S′][S,S^{'}][S,S′]为GGG的一个割集

定义3.4

（1）若HHH是GGG的子图，则称H‾=G−E(H)\overline{H}=G-E(H)H=G−E(H)为HHH在GGG中的余图

（2）若GGG连通，TTT是GGG的生成子树，则TTT的余图(‾T)=G−E(T)\overline(T)=G-E(T)(T)=G−E(T)称为余树

定理3.6

设TTT是连通图GGG的一棵生成树，对TTT的每条边eee有：

余树T‾\overline{T}T不含GGG的割集
T‾+e\overline{T}+eT+e含GGG的唯一割集

第二点的意思是：T‾+e\overline{T}+eT+e中含有GGG的唯一割集或者 GGG的割集∈T‾+e\in \overline T + e∈T+e

证明：余树T‾\overline{T}T不含GGG的割集

设E′⊆E(T‾)E^{'}\subseteq E(\overline T)E′⊆E(T)，有

w(G−E′)≤w(G−E(T‾))w(G-E^{'})\leq w(G - E(\overline T))w(G−E′)≤w(G−E(T))

又因为

w(G−E(T‾))=w(T)=1w(G - E(\overline T)) = w(T)=1w(G−E(T))=w(T)=1

所以G−E′G- E^{'}G−E′一定是连通的

故E′E^{'}E′不是GGG的割集

简单的理解：无论去掉余树中的多少条边，是不会影响生成树TTT的
所以都不会破坏GGG的连通度，故一定不含有GGG的割集

证明：T‾+e\overline{T}+eT+e含GGG的唯一割集

设TTT是GGG的生成树，那么它的每条边都是割边

故有：T−eT-eT−e不连通

用SSS表示T−eT-eT−e的一个连通片的顶点集，S‾=V(G)−S\overline S = V(G)- SS=V(G)−S

所以B=[S,S‾]B=[S, \overline S]B=[S,S]是GGG的一个边断集

且BBB完全含在T‾+e\overline T +eT+e中（BBB是T‾+e\overline T+eT+e的子集）

假设B′B^{'}B′也是GGG的一个割集

那么B′B^{'}B′中一个含有边eee

则B=B′B=B^{'}B=B′

这里有点绕
首先需要明确的是割集中每条边所连接的两个端点分布在两个不同的连通片中
在T‾\overline TT所有边中，符合上面条件：边的两端点分别连接两个连通片SSS和S‾\overline SS 这些边的是固定且具有唯一性
有BBB和B′B^{'}B′一定是需要完全含有这些边
若此时还有一条公共边eee，那么就可以得出B=B′B=B^{'}B=B′

所以T‾+e\overline{T}+eT+e含GGG的唯一割集

生成树与割集的对比

余树与割集

余树T‾\overline{T}T不含割集
e∈E(T),T‾+ee\in E(T),\overline{T}+ee∈E(T),T+e含唯一割集

生成树与圈

生成树TTT不含圈
e∈E(T‾),T+ee\in E(\overline T), T+ee∈E(T),T+e含唯一圈

3.2.2 割点

定理3.5

设vvv是连通图GGG的一个顶点，则下面命题等价

vvv是割点
存在V−{v}V-\{v\}V−{v}的一个划分V−{v}=U∪W,U∩W=ϕV-\{v\}=U\cup W,U\cap W=\phiV−{v}=U∪W,U∩W=ϕ,使得∀u∈U,∀w∈E\forall u \in U, \forall w \in E∀u∈U,∀w∈E，uuu到www的每条路径都必经过vvv
存在与vvv不同的两顶点u,wu,wu,w，使得uuu到www的每条路径都必经过vvv

推论3.7.1

树TTT的顶点vvv是TTT的割点的充要条件是

证明

前提条件：TTT是树

证必要性：vvv是TTT的割点⇒\Rightarrow⇒d(v)≥2d(v)\geq 2d(v)≥2

因为vvv是TTT的割点

所以一定存在不同于vvv的两个顶点u,vu,vu,v，其之间的路径经过vvv

在去除割点后的两个连通片中一边取一个顶点就可以满足条件了
而且至少存在两个顶点可能是多个

故d(v)≥2d(v)\geq 2d(v)≥2

证充分性：d(v)≥2d(v)\geq 2d(v)≥2⇒\Rightarrow⇒vvv是TTT的割点

因为d(v)≥2d(v)\geq 2d(v)≥2

对于vvv，一定存在两个顶点u,wu,wu,w分别与vvv相邻（与vvv连接）

又因为TTT树，说明顶点uuu到www之间路径唯一，且经过vvv

故可得vvv是TTT的割点

推论3.7.2

无环的非平凡连通图至少有两个非割点

证明

设TTT是GGG的生成树

有TTT中至少有两个一次顶点，它们是TTT的非割点

对v∈V(G)v\in V(G)v∈V(G)，有

w(G−v)≤w(T−v)w(G-v)\leq w(T- v)w(G−v)≤w(T−v)

去掉生成树TTT中顶点vvv产生的影响大于去掉GGG中顶点vvvd产生的影响（从连通片的个数考虑）

所以TTT中的这两个非割点也一定是GGG的非割点

故GGG中至少含有两个非割点

结语

说明：

参考于课本《图论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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生成树与割集的对比

3.2.2 割点

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