前言
往期文章
5.2 匹配基本定理
- 对称差
- 5.2.1 Berge定理
- - 定理 5.1
- 5.2.2 Hall定理
- - 定义 5.4
  - 定理 5.2
  - 推论5.2.1
  - 推论 5.2.2（ t t t条件）
- 5.2.3 Konig定理
- - 定义5.5
  - 引理 5.2.1
  - 引理 5.2.2
  - 定理 5.3 （Konig定理）
- 5.2.4 Tutte定理
- - 定义 5.6
  - 定理 5.4（Tutte定理）
  - 推论 5.4
结语

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（24）：常数项级数的审敛法（补充知识））

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（25）：幂级数（补充知识）

5.2 匹配基本定理

对称差

A Δ B = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B) AΔB=(A∪B)−(A∩B)

记忆：先去掉 A 、 B A、B A、B都有的元素，然后再合并 A 、 B A、B A、B的其他元素

5.2.1 Berge定理

定理 5.1

M M M是 G G G的最大匹配的充要条件是 G G G不含 M M M可增长路径

证明

证必要性： M M M是 G G G的最大匹配 ⇒ \Rightarrow ⇒ G G G不含 M M M可增长路径

使用反证法

假设 G G G中含有 M M M可增长路径 P = v 0 v 1 v 2 . . . v 2 m + 1 P = v_0v_1v_2 ... v_{2m+1} P=v0v1v2...v2m+1

令 M ′ = M Δ E ( P ) M^{'} = M \Delta E(P) M′=MΔE(P)

显然 M ′ M^{'} M′是 G G G的一个匹配，且

∣ M ∣ ′ = ∣ M ∣ + 1 |M|^{'} = |M| + 1 ∣M∣′=∣M∣+1

与 M M M是最大匹配相矛盾，故假设不成立

说明 G G G不含 M M M可增长路径

证充分性： G G G不含 M M M可增长路径 ⇒ \Rightarrow ⇒ M M M是 G G G的最大匹配

使用反证法

假设 G G G不含 M M M可增长路径，但 M M M不是最大匹配

设 M ′ M^{'} M′是 G G G的一个最大匹配，则有 ∣ M ∣ ′ > ∣ M ∣ |M|^{'} > |M| ∣M∣′>∣M∣

令 H = G [ M Δ M ′ ] H = G[M \Delta M^{'}] H=G[MΔM′]

可以得到 H H H中每个顶点在 H H H中的次数只能是 1 或 2 1或2 1或2

为了理解上述： H H H中每个顶点在 H H H中的次数只能是 1 或 2 1或2 1或2

可以举一个例子帮助理解

定义一个最大匹配 M ′ M^{'} M′如下

再定义一个匹配 M M M，其中满足 ∣ M ∣ < ∣ M ′ ∣ |M| < |M^{'}| ∣M∣<∣M′∣

得到 M Δ M ′ M \Delta M^{'} MΔM′为

M Δ M ′ M\Delta M^{'} MΔM′可以简单理解为：去掉两者重复的，保留两者没有重复的

再令 H = G [ M Δ M ′ ] H = G[M \Delta M^{'}] H=G[MΔM′]

这里 H H H是 G G G的边子图（只要 G G G含有 [ M Δ M ′ ] [M \Delta M^{'}] [MΔM′]边的部分）
事先假设 G G G中都存在这些边

可以发现 H H H中每一个连通分支有两种可能

一条边在 M M M和 M ′ M^{'} M′中交错的偶圈（上图左半部分）
一条边在 M M M和 M ′ M^{'} M′中交错的路径（上图右半部分）

所有可以得到 H H H中每个顶点在 H H H中的次数只能是 1 或 2 1或2 1或2

因为 ∣ M ′ ∣ > ∣ M ∣ |M^{'}| > |M| ∣M′∣>∣M∣

所以一定有一个连通片中含有一条路径 P P P，始边和终边都属于 M ′ M^{'} M′

且 P P P的两个端点是 M M M非渗透点（上图右半部分含有这样的两个端点）

从而得出 P P P是 M M M可增长路径

与假设 G G G中无增长路径矛盾

故假设不成立， M M M是 G G G的最大匹配

5.2.2 Hall定理

定义 5.4

设 S ⊆ V ( G ) S \subseteq V(G) S⊆V(G)， V ( G ) V(G) V(G)中与 S S S的顶点相邻的所有顶点构成之集合称为 S S S的领域，记为 N G ( S ) N_G(S) NG(S)

定理 5.2

设 G G G是二部图，其划分为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，则 G G G有渗透 X X X每个顶点的匹配的充要条件是： ∀ S ⊆ X \forall S \subseteq X ∀S⊆X，恒有

∣ N G ( S ) ∣ ≥ ∣ S ∣ |N_G(S)| \geq |S| ∣NG(S)∣≥∣S∣

证明

证必要性： G G G有渗透 X X X每个顶点的匹配 ⇒ \Rightarrow ⇒ ∀ S ⊆ X \forall S \subseteq X ∀S⊆X，恒有 ∣ N G ( S ) ∣ ≥ ∣ S ∣ |N_G(S)| \geq |S| ∣NG(S)∣≥∣S∣

因为 G G G有渗透 X X X每个顶点的匹配

所以对于 ∀ S ⊆ X \forall S \subseteq X ∀S⊆X，可以得到 S S S中每一个顶点在 Y Y Y中都可以找到对应的匹配点

故有

∣ N G ( S ) ∣ ≥ ∣ S ∣ |N_G(S)| \geq |S| ∣NG(S)∣≥∣S∣

证充分性： ∀ S ⊆ X \forall S \subseteq X ∀S⊆X，恒有 ∣ N G ( S ) ∣ ≥ ∣ S ∣ |N_G(S)| \geq |S| ∣NG(S)∣≥∣S∣ ⇒ \Rightarrow ⇒ G G G有渗透 X X X每个顶点的匹配

假设 G G G中没有渗透 X X X每个顶点的匹配

令 M ∗ M^{*} M∗为 G G G的一个最大匹配，则 M ∗ M^{*} M∗不能渗透 X X X

取 X X X中 M ∗ M^{*} M∗非渗透点 u u u

令 Z Z Z是由 u u u出发可由 M ∗ M^{*} M∗交错路径到达的顶点集

因 M ∗ M^{*} M∗是最大匹配，由 B e r g e Berge Berge定理，得

u u u是 Z Z Z中仅有的未被 M ∗ M^{*} M∗配对的顶点

如果还存在 u u u之外的一个顶点在 Z Z Z中，那么就存在一条 M M M交错路径的起点和终点都是非渗透点
则 M M M为可增长路径
但由 B e r g e Berge Berge定理知：最大匹配无可增长路径
故只能存在一个非渗透点，即 u u u是 Z Z Z中仅有的未被 M ∗ M^{*} M∗配对的顶点

我们取

S = Z ∩ X , T = Z ∩ Y S= Z \cap X, T = Z \cap Y S=Z∩X,T=Z∩Y

显然， S − { u } S- \{u\} S−{u}中的顶点在 M ∗ M^{*} M∗中与 T T T中的顶点配对

除了 u u u外， S S S与 T T T中的顶点都存在匹配关系

有

∣ T ∣ = ∣ S ∣ − 1 ， N ( S ) = T |T| = |S| - 1 ， N(S) = T ∣T∣=∣S∣−1，N(S)=T

得到

∣ S ∣ = ∣ T ∣ + 1 = ∣ N ( S ) ∣ + 1 |S| = |T| + 1 = |N(S)| + 1 ∣S∣=∣T∣+1=∣N(S)∣+1

与 ∣ N ( S ) ∣ ≥ ∣ S ∣ |N(S)| \geq |S| ∣N(S)∣≥∣S∣相矛盾

故假设不成立

推论5.2.1

若 G G G是 k − k- k−正则二部图 ( k > 0 ) (k > 0) (k>0)，则 G G G有一个理想匹配

证明

设 G G G的二部图划分为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)，则有

k ∣ X ∣ = k ∣ Y ∣ k|X| = k|Y| k∣X∣=k∣Y∣

从 X X X引出的边的数量等于从 Y Y Y引出的边的数量（利用边的恒等性）

得到

∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X| = |Y| ∣X∣=∣Y∣

也就是 ∣ X ∣ |X| ∣X∣和 ∣ Y ∣ |Y| ∣Y∣中的顶点个数相同

令

S S S是 X X X中任意一个非空子集
E 1 E_1 E1是与 S S S中顶点相关联的边集
E 2 E_2 E2是与 N ( S ) N(S) N(S)中顶点相关联的边集

则有

E 1 ⊆ E 2 或 ∣ E 1 ∣ ≤ ∣ E 2 ∣ E_1 \subseteq E_2 \quad或 \quad|E_1| \leq |E_2| E1⊆E2或∣E1∣≤∣E2∣

E 1 E_1 E1是与 S S S中顶点相关联的边集，且 E 1 E_1 E1两个端点中另一个端点一定是在 N ( S ) N(S) N(S)中
所以 E 1 E_1 E1是 E 2 E_2 E2的一个子集

又因为

{ ∣ E 1 ∣ = k ∣ S ∣ ∣ E 2 ∣ = k ∣ N ( S ) ∣ \begin{cases} |E_1| = k |S|\\ |E_2| = k |N(S)| \end{cases} {∣E1∣=k∣S∣∣E2∣=k∣N(S)∣

得到

k ∣ N ( S ) ∣ > k ∣ S ∣ k |N(S)| > k |S| k∣N(S)∣>k∣S∣

即

∣ N ( S ) ∣ > ∣ S ∣ |N(S)| > |S| ∣N(S)∣>∣S∣

由 H a l l Hall Hall定理知， G G G中一定含有渗透 X X X中所有顶点的匹配 M M M

又因为 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X| = |Y| ∣X∣=∣Y∣

所以 M M M为理想匹配

X X X中每个顶点都渗透了，又因为 X X X中每个顶点的的匹配点一定是在 Y Y Y中，故 Y Y Y中所有顶点也被渗透了

推论 5.2.2（ t t t条件）

设 G G G是划分为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的二部图，若存在整数 t > 0 t>0 t>0，使得

X X X中的每个顶点 x i x_i xi，都有 d ( x i ) ≥ t d(x_i) \geq t d(xi)≥t
Y Y Y中的每个顶点 y i y_i yi，都有 d ( y i ) ≤ t d(y_i)\leq t d(yi)≤t

则 G G G中必有渗透 X X X的匹配

证明

令 S S S是 X X X中任意一个非空子集

再设

E 1 E_1 E1是与 S S S中顶点相关联的边集
E 2 E_2 E2是与 N ( S ) N(S) N(S)中顶点相关联的边集

则有

E 1 ⊆ E 2 或 ∣ E 1 ∣ ≤ ∣ E 2 ∣ E_1 \subseteq E_2 \quad或 \quad|E_1| \leq |E_2| E1⊆E2或∣E1∣≤∣E2∣

E 1 E_1 E1是与 S S S中顶点相关联的边集，且 E 1 E_1 E1两个端点中另一个端点一定是在 N ( S ) N(S) N(S)中
所以 E 1 E_1 E1是 E 2 E_2 E2的一个子集

再分别计算 ∣ E 1 ∣ 、 ∣ E 2 ∣ |E_1|、|E_2| ∣E1∣、∣E2∣

∣ E 1 ∣ = ∑ x ∈ S d ( x ) ≥ t ∣ S ∣ |E_1|=\sum_{x\in S}d(x) \geq t|S| ∣E1∣=x∈S∑d(x)≥t∣S∣

∣ E 2 ∣ = ∑ y ∈ N ( S ) d ( y ) ≤ t ∣ N ( S ) ∣ |E_2|=\sum_{y\in N(S)}d(y) \leq t|N(S)| ∣E2∣=y∈N(S)∑d(y)≤t∣N(S)∣

得到

t ∣ N ( S ) ∣ ≥ ∣ E 2 ∣ ≥ ∣ E 2 ∣ ≥ t ∣ S ∣ t|N(S)| \geq |E_2| \geq |E_2| \geq t|S| t∣N(S)∣≥∣E2∣≥∣E2∣≥t∣S∣

即

∣ N ( S ) ∣ > ∣ S ∣ |N(S)| > |S| ∣N(S)∣>∣S∣

由 H a l l Hall Hall定理知， G G G中一定有渗透 X X X的匹配

5.2.3 Konig定理

定义5.5

设 G = ( V , E ) , K ⊆ V G=(V,E),K\subseteq V G=(V,E),K⊆V

（1）若 G G G的每条边至少有一个端点属于 K K K，则称 K K K是 G G G的一个覆盖

（2）若 K K K是 G G G的一个覆盖， ∀ v ∈ V , K − { v } \forall v \in V, K - \{v\} ∀v∈V,K−{v}不是覆盖，则称 K K K为极小覆盖

（3）若 K K K是 G G G的一个覆盖，但无覆盖 K ′ K^{'} K′，使得 ∣ K ′ ∣ < ∣ K ∣ |K^{'}| <|K| ∣K′∣<∣K∣，则称 K K K为最小覆盖，用 α ( G ) \alpha(G) α(G)表示 G G G中最小覆盖的顶点数， α ( G ) \alpha(G) α(G)称为 G G G的覆盖数

Note

一般最小覆盖必定是极小覆盖
但极小覆盖却不一定是最小覆盖

覆盖：顶点覆盖图中所有边，即若 K K K是覆盖，则 G − K G - K G−K为无边图

若 K K K是 G G G的覆盖， M M M是 G G G的匹配

则 K K K要覆盖 M M M，至少需要 ∣ M ∣ |M| ∣M∣个顶点，因此有

∣ K ∣ ≥ ∣ M ∣ |K| \geq |M| ∣K∣≥∣M∣

从而

α ( G ) ≥ ∣ M ∣ \alpha(G) \geq |M| α(G)≥∣M∣

引理 5.2.1

设 K K K与 M M M分别是 G G G的覆盖与匹配，则

∣ M ∣ ≤ ∣ K ∣ |M| \leq |K| ∣M∣≤∣K∣

引理 5.2.2

若 G G G存在匹配 M M M和覆盖 K K K，使得 ∣ M ∣ = ∣ K ∣ |M| = |K| ∣M∣=∣K∣

则 M M M是最大匹配， K K K是最小覆盖

证明

设 K ~ , M ∗ \tilde{K},M^{*} K~,M∗分别是 G G G的最小覆盖和最大匹配，则有

∣ K ∣ ≥ ∣ K ~ ∣ ≥ ∣ M ∗ ∣ ≥ ∣ M ∣ |K| \geq |\tilde{K}| \geq |M^{*}| \geq |M| ∣K∣≥∣K~∣≥∣M∗∣≥∣M∣

一般的覆盖数肯定是大于等于最小覆盖数
最大匹配数大于一般的匹配数
最小覆盖数大于等于最大匹配（可以由引理5.2.1推出）

又因为

∣ k ∣ = ∣ M ∣ |k| = |M| ∣k∣=∣M∣

得到

∣ K ∣ = ∣ K ~ ∣ = ∣ M ∗ ∣ = ∣ M ∣ |K| = |\tilde{K}| = |M^{*}| = |M| ∣K∣=∣K~∣=∣M∗∣=∣M∣

综上

M M M也是最大匹配
K K K也是最小覆盖

定理 5.3 （Konig定理）

设 G G G是二部图， M ∗ M^{*} M∗是 G G G的最大匹配， K ~ \tilde{K} K~是 G G G的最小覆盖，则

∣ M ∗ ∣ = ∣ K ~ ∣ = α ( G ) |M^{*}| = |\tilde{K}| = \alpha(G) ∣M∗∣=∣K~∣=α(G)

若 G G G是一般图，则为 ∣ M ∗ ∣ ≤ ∣ K ~ ∣ |M^{*}| \leq |\tilde{K}| ∣M∗∣≤∣K~∣
若 G G G是二部图，则为 ∣ M ∗ ∣ = ∣ K ~ ∣ |M^{*}| = |\tilde{K}| ∣M∗∣=∣K~∣

证明

设 G G G是二部图，其划分为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)

若 M ∗ M^{*} M∗渗透 X X X的所有顶点，则有

∣ M ∗ ∣ = ∣ X ∣ |M^{*}| = |X| ∣M∗∣=∣X∣

∣ M ∗ ∣ |M^{*}| ∣M∗∣表示匹配的数量（两个顶点间有匹配边算一个匹配）

这时，显然 X X X是一个最小覆盖，有 ∣ X ∣ = ∣ K ~ ∣ |X| = |\tilde{K}| ∣X∣=∣K~∣

二部图 G G G在这个应该是连通图
X X X中顶点关联的边都与 Y Y Y中顶点相连
所以 X X X是一个最小覆盖

综上有

∣ M ∗ ∣ = ∣ K ~ ∣ = α ( G ) |M^{*}| = |\tilde{K}| = \alpha(G) ∣M∗∣=∣K~∣=α(G)

若在 X X X中存在非渗透点

令 U U U是 X X X中的 M ∗ M^{*} M∗非渗透点的集合，如下图所示

设 Z Z Z是由 M ∗ M^{*} M∗交错路径与 U U U中顶点相连通的顶点之集合

令

S = Z ∩ X S = Z \cap X S=Z∩X
T = Z ∩ Y T = Z \cap Y T=Z∩Y

有

N ( S ) = T N(S) = T N(S)=T

又令

K ~ = ( X − S ) ∪ T \tilde{K} = (X - S) \cup T K~=(X−S)∪T

则 G G G中每一条边至少都有一端在 K ~ \tilde{K} K~中

若有一条边的一端在 S S S中，另一个端点在 Y − T Y - T Y−T中，这与 N ( S ) = T N(S) = T N(S)=T产生矛盾

说明 K ~ \tilde{K} K~是 G G G的一个覆盖，且 ∣ M ∗ ∣ = ∣ K ~ ∣ |M^{*}| = |\tilde{K}| ∣M∗∣=∣K~∣

根据引理 5.3.2得

K ~ \tilde{K} K~是 G G G的一个最小覆盖

5.2.4 Tutte定理

定义 5.6

图的顶点数为奇数的连通片称为齐片，顶点数为偶数的连通片为偶片

用 0 ( G ) 0(G) 0(G)表示 G G G中齐片的个数

定理 5.4（Tutte定理）

图 G G G中有理想匹配的充要条件是对于一切 S ⊆ V S\subseteq V S⊆V，有

0 ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ 0(G- S) \leq |S| 0(G−S)≤∣S∣

证明

推论 5.4

每个无割边的3-正则图有理想匹配

结语

说明：

参考于课本《图论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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