介绍

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题，但是对于DAG，可以有更加简化的算法去计算，使得时间复杂度更低。
针对DAG的特点,以拓扑排序为基础,提出了解决DAG的最短路径问题的简单算法。通过理论分析,表明该算法具有理想的运算效率,其中,解决单源点问题的运算时间与E成正比,解决所有点对问题的运算时间与VE成正比。拓扑排序策略对于此类最短路径问题的研究,较传统的方法运算简单、求解直观。

适用条件&范围

1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
2.有向无环图（DAG）
3.边权可正可负;

算法描述

（1）初始化，入度为0的节点d为0，其他的节点d值为INF。

（2）对DAG进行拓扑排序，得到拓扑序列。

（3）按照拓扑序列遍历DAG的点，进行松弛操作，对于每个点u，遍历其所有的出边<u,v>，如果d[v] > d[v] + length<u,v>，则更新。

时间复杂度

算法时间复杂度O(V+E)。

Java代码实现

package algorithms;import util.AlgoGraph;/*** Created with IntelliJ IDEA.* Created by The_Sam on 2017/5/8 22:08*/
public class DAG extends ShortestAlgorithms {public static void main(String[] args) {ShortestAlgorithms dag = new DAG();System.out.println(dag.analyse(AlgoGraph.defaultMap3()));}boolean analyse(AlgoGraph algoGraph) {dis = new int[algoGraph.getNodenum()];//dis[i] 为 i点到s的最短距离pre = new int[algoGraph.getNodenum()];//pre[i] 为i搭配s的最短距离的上一个节点ini(algoGraph, algoGraph.getNodenum());int vertexs[] = topSort(algoGraph);relex(algoGraph, algoGraph.getNodenum(), algoGraph.getEdgenum(), vertexs);return true;}void ini(AlgoGraph algoGraph, int nodenum) {//初始化，将dis[s]设为0，其他的都设为无限大int s = algoGraph.getOriginal();//原点for (int i = 0; i < nodenum; i++) {dis[i] = i == s ? 0 : MAXN;}}void relex(AlgoGraph algoGraph, int nodenum, int edgenum, int vertexs[]) {//松弛操作，遍历每条边nodenum次，找到所有节点的对应dis和pre// 实际上就是暴力检测有没有更短的路径for (int i = 0; i < nodenum; i++) {for (int j = 0; j < edgenum; j++) {int v = algoGraph.edge.get(j).v;if (v != vertexs[i]) continue;//对拓扑排序从前往后操作，省去后面很多多余的操作int u = algoGraph.edge.get(j).u;int cost = algoGraph.edge.get(j).cost;if (dis[v] > dis[u] + cost) {dis[v] = dis[u] + cost;pre[v] = u;}}}}/*** @Description : 拓扑排序* @Author : The_Sam* @Datetime : 2017/5/8 23:22* @Params : AlgoGraph algoGraph* @Return : int[]*/int[] topSort(AlgoGraph algoGraph) {int nodeNum = algoGraph.getNodenum();int result[] = new int[nodeNum];int indegrees[] = algoGraph.getIndegrees();for (int cnt = 0; cnt < nodeNum; ) {for (int i = 0; i < nodeNum; i++) {if (indegrees[i] == 0) result[cnt++] = i;if (indegrees[i] >= 0) indegrees[i]--;}}return result;}}

AlgoGraph.java 表示图的代码附上

package util;import lombok.Getter;
import lombok.Setter;import java.util.ArrayList;/*** Created by The_Sam on 2017/5/8.* 图是从0到nodenum-1表示相应节点*/
public class AlgoGraph {@Getter@Setterprivate int original;@Getter@Setterprivate int nodenum;private int indegrees[];//    private int indegrees[];//indegree[i]表示i节点的入度public ArrayList<AlgoEdge> edge;public int getEdgenum() {return edge.size();}public AlgoGraph(int original, int nodenum, ArrayList<AlgoEdge> edge) {this.original = original;this.nodenum = nodenum;this.edge = edge;}/*** @Description :返回函数各个节点的入度* @Author : The_Sam* @Datetime : 2017/5/8 23:04* @Params :* @Return : int[]*/public int[] getIndegrees() {indegrees=new int[nodenum];for (AlgoEdge e :edge) {indegrees[e.v]++;}return indegrees;}/*** @Description: 返回一个图，为算法导论图24-4，带负权无负权回路有向环图* @Author: The_Sam* @Datetime: 2017/5/8 21:22* @Params: []* @Return: AlgoGraph*/static public AlgoGraph defaultMap1() {ArrayList<AlgoEdge> edge = new ArrayList<AlgoEdge>();edge.add(new AlgoEdge(0, 1, 6));edge.add(new AlgoEdge(0, 2, 7));edge.add(new AlgoEdge(1, 2, 8));edge.add(new AlgoEdge(1, 3, 5));edge.add(new AlgoEdge(1, 4, -4));edge.add(new AlgoEdge(2, 3, -3));edge.add(new AlgoEdge(2, 4, 9));edge.add(new AlgoEdge(3, 1, -2));edge.add(new AlgoEdge(4, 0, 2));edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 7));int original = 0;int nodenum = 5;return new AlgoGraph(original, nodenum, edge);}/*** @Description: 返回一个图，为算法导论图24-4改变版，有负权回路有向环图* @Author: The_Sam* @Datetime: 2017/5/8 21:22* @Params: []* @Return: AlgoGraph*/static public AlgoGraph defaultMap2() {ArrayList<AlgoEdge> edge = new ArrayList<AlgoEdge>();edge.add(new AlgoEdge(0, 1, 6));edge.add(new AlgoEdge(0, 2, 7));edge.add(new AlgoEdge(1, 2, 8));edge.add(new AlgoEdge(1, 3, 5));edge.add(new AlgoEdge(1, 4, -4));edge.add(new AlgoEdge(2, 3, -3));edge.add(new AlgoEdge(2, 4, 9));edge.add(new AlgoEdge(3, 1, -2));edge.add(new AlgoEdge(4, 0, 2));edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 5));//此处改变 edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 7));int original = 0;int nodenum = 5;return new AlgoGraph(original, nodenum, edge);}/*** @Description: 返回一个图，为算法导论图24-4改变版，有向无环图* @Author: The_Sam* @Datetime: 2017/5/8 21:22* @Params: []* @Return: AlgoGraph*/static public AlgoGraph defaultMap3() {ArrayList<AlgoEdge> edge = new ArrayList<AlgoEdge>();edge.add(new AlgoEdge(0, 1, 6));edge.add(new AlgoEdge(0, 2, 7));edge.add(new AlgoEdge(1, 2, 8));edge.add(new AlgoEdge(1, 3, 5));edge.add(new AlgoEdge(1, 4, -4));edge.add(new AlgoEdge(2, 3, -3));edge.add(new AlgoEdge(2, 4, 9));//edge.add(new AlgoEdge(3, 1, -2));//edge.add(new AlgoEdge(4, 0, 2));//edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 5));//此处改变 edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 7));int original = 0;int nodenum = 5;return new AlgoGraph(original, nodenum, edge);}/*** @Description: 返回一个图，为算法导论图24-4改变版，无负权有向环图* @Author: The_Sam* @Datetime: 2017/5/8 21:22* @Params: []* @Return: AlgoGraph*/static public AlgoGraph defaultMap4() {ArrayList<AlgoEdge> edge = new ArrayList<AlgoEdge>();edge.add(new AlgoEdge(0, 1, 6));edge.add(new AlgoEdge(0, 2, 7));edge.add(new AlgoEdge(1, 2, 8));edge.add(new AlgoEdge(1, 3, 5));edge.add(new AlgoEdge(1, 4, 4));edge.add(new AlgoEdge(2, 3, 3));edge.add(new AlgoEdge(2, 4, 9));//edge.add(new AlgoEdge(3, 1, -2));//edge.add(new AlgoEdge(4, 0, 2));//edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 5));//此处改变 edge.add(new AlgoEdge(4, 3, 7));int original = 0;int nodenum = 5;return new AlgoGraph(original, nodenum, edge);}
}

AlgoEdge.java表示边的代码附上

package util;/*** Created by The_Sam on 2017/5/8.*/
public class AlgoEdge {public int u,v;public int cost;public AlgoEdge(int u, int v, int cost) {this.u = u;this.v = v;this.cost = cost;}
}

												


											

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